PERSAMAAN EKSPONEN DAN SIFAT-SIFATNYA

- Pengertian Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen yaitu sebuah persamaan yang eksponennya juga mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x 

- Sifat – Sifat Persamaan Eksponen Berdasarkan Pangkatnya

Sifat – sifat persamaan eksponen sederhana banyak sifatnya, berikut ini sifat – sifat persamaan eksponen berdasarkan pangkatnya adalah :

1. Pangkat Bulat Positif (m dan n bulat positif ) 

• am. an = am+n
• am/an = am-n
• (am)n = am.n
• (ab)m = am. bm
• (a/b)m = am/bm

2. Pangkat Nol 

a0 = 1, dengan syarat a ≠ 0

3. Pangkat Bulat Negatif ( n positif )

 

a-n = 1/an , atau 1/a-n = an

4. Pangkat Bilangan Pecahan  

• a1/n = n√a
• am/n = n√am = ( n√a)m

- Jenis – Jenis Persamaan Eksponen

Berikut ini jenis eksponen yang persamaannya memuat peubah adalah :

4x – 2x – 6 = 0

23x-2 = 128 

1. Persamaan eksponen berbentuk ap = aq

Jika a > 0 ; a ≠ 1 dan ap = aq maka p = q

 

Contoh :

• Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

23x-2 = 128

5×2 + 6x – 42 = 3125 12 – x

42x – 18x + 4 = 0

• Jawab :

23x-2 = 128

23x-2 = 27

3x – 2 = 7

3x = 9

x = 3 

5×2 + 6x – 42 = 3125 12 – x

5×2 + 6x – 42 = 55(12 – x)

x2 + 6x – 42 = 5(12 – x)

x2 + 6x – 42 = 60 – 5x

x2 + 11x – 102 = 0

(x + 17)(x – 6) = 0

x = -17 atau x = 6 

42x – 18x + 4 = 0

2.22x – 9.2 x + 4 = 0

2.(2x)2 – 9.2x + 4 = 0

2a2 – 9a + 4 = 0

(2a – 1)(a – 4) = 0

a = ½ atau a = 4 

Untuk a = ½

2x = ½

2x = 2-1

x = -1

Untuk a = 4

2x = 4

2x = 22

x = 2

Jadi Hp = {-1, 2} 

2. Persamaan eksponen berbentuk af(x) = b f(x) 

Jika af(x) = b f(x) maka f(x) = 0 dengan (a > 0 ; b > 0 ; a ≠ 1; b ≠ 1)

 

Contoh :

• Carilah semua x yang memenuhi 25.5 2x – 5 = 3 2x – 3
• Jawab :

25.52x – 5 = 3 2x – 3

52. 52x – 5 = 3 2x – 3

52x – 5 +2 = 3 2x – 3

52x – 3 = 32x – 3

2x – 3 = 0

2x = 3

x = 3/2 

3. Persamaan eksponen berbentuk (h(x))f(x) = (h(x))g(x)

• Jika h(x) = 0, maka haruslah f(x) > 0 dan g(x) > 0 karena nol berpangkat nol atau berpangkat negatif tidak didefinisikan.
• Jika h(x) ≠ 0 maka (h(x))g(x) ≠ 0. Maka kita dapat juga membagi kedua ruas dengan (h(x))g(x) sehingga menjadi:(h(x))f(x) : (h(x))g(x) = (h(x))g(x) : (h(x))g(x)(h(x))f(x) – g(x) = 1
• Jika h(x) = 1 maka f(x) dan g(x) tidak juuga memberikan syarat apapun sebab satu berpangkat sembarang itu bilangan terdefinisi dan hasilnya satu.
• Jika h(x) = -1 maka f(x) – g(x) haruslah genap sebab -1 berpangkat ganjil hasilnya bukan satu. f(x) – g(x) genap sama artinya dengan f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
• Jika h(x) ≠ 1 maka haruslah f(x) = g(x)

Penyelesaian persamaan tersebut (h(x))f(x) = (h(x))g(x) adalah semua x yang sudah memenuhi persamaan:

h(x) = 0 dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0

h(x) = 1

h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap

h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1 dan f(x) = g(x) 

 

Contoh :

• Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 5)x2 – 4 = (x – 5)2 – x)
• Jawab :

h(x) = 0 ⟺ x – 5 = 0 ⟺ x = 5

Syarat x2 – 4 > 0 dan 2 – x > 0

Substitusikan x – 5

52 – 4 > 0 dan 2 – 5 > 0 (tidak memenuhi)

Ini berarti x = 5 bukan himpunan penyelesaian.

h(x) = 1 ⟺ x – 5 = 1 ⟺ x = 6

Tidak memerlukan syarat sehingga x = 6 merupakan himpunan penyelesaian.

h(x) = -1 ⟺ x – 5 = -1 ⟺ x = 4

Substitusikan x = 4 pada f(x) dan g(x)

42 – 4 = genap dan 2 – 4 = genap

Karena keduanya genap maka x – 4 merupakan himpunan penyelesaian.

f(x) = g(x) ⟺ x2 – 4 = 2 – x

⟺ x2 + x – 6 = 0

⟺ (x + 3)(x – 2) = 0

⟺ x = -3 atau x = 2

Setelah itu disubstitusikan x = -3 atau x = 2 ke dalam h(x) diperoleh h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1

Ini berarti x = -3 atau x = 2 merupakan himpunan penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah = {-3, 2, 4, 6}

 

NAILA ZIA KHALISHAH 

KELAS X MIPA 2 

NO. ABSEN 27