Pembahasan PAS Ganjil MTK Peminatan

Naila Zia Khalishah 

X MIPA 2 

No. Absen 27   

Assalamualaikum semuanya, ini adalah cara pengerjaan PAS saya. Tolong dikoreksi ya, apakah jawaban saya sudah benar. Apabila ada kesalahan atau kekurangan mohon dikomentari. Terimakasih  

1. Grafik fungsi f(x) = k.25x-8 melalui titik (2,20). nilai -3k adalah

f(x) = y
20 = k . 2^5.2-8 
20 = k . 2^10-8
20 = k . 2²
20 = 4k
k = 5 

-3k = ?
-3(5) = -15 

2. Fungsi yang sesuai dengan grafik adalah

Grafik melalui (0,2) dan (1,3)
f(x) = 14 . a^x + 1

• Grafik melalui (0,2)

f(x) = 14 . a^x + 1
2 = 14 . a⁰ + 1
2 = 14 . 1 + 1
14 = 1

Fungsi eksponennya 
f(x) = 1 . a^x + 1
f(x) = a^x + 1  

• Grafik melalui (1,3)

f(x) = a^x + 1
3 = a¹ + 1
3 - 1 = a
a = 2 

Maka, fungsi eksponennya 
f(x) = 2x + 1   

√8^x² - 4x + 3 = 1/32^x - 1
8^x² - 4x +3/2 = 32^ -x + 1
(2³)^x² - 4x + 3/2 = (2⁵)^ -x + 1
3x² -12x + 9/2 = -5x + 5
3x² - 12x + 9 = -10x + 10
3x² - 2x - 1 = 0 
(x - 1) (3x + 1) = 0

x = 1, x = -1/3. 

p = 1, q = -1/3
p + 6q = ?
1 + 6(-1/3) = -1 

4. Penyelesaian persamaan (2x - 1)⁸ = (-2 + x)⁸ adalah

f(x) = g(x) 
2x - 1 = -2 + x
2x - x = -2 +1 
x = -1 

f(x) = -g(x)
2x - 1 = - (-2 + x)
2x - 1 = 2 - x 
2x + x = 2 + 1
3x = 3
x = 1

Maka, x = -1 atau x = 1

 

(2/3)^x = 6^1-x

xlog2/3 = 1-x*log6
(log2/3)/log6 = (1-x)/x
6log2/3 = 1/x -1
6log2/3 +1 =1/x
6log2/3 + 6log6 = 1/x
6log(2/3*6) = 1/x
6log4 = 1/x
x = 4log6 

g(x) = h(x) 
x² - 2x = x + 4 
x² - 3x -4 = 0 
(x - 4) (x + 1) = 0
x = 4, x = -1

f(x) = 1
2x - 3 = 1
2x = 4
x = 2

f(x) = -1 
2x - 3 = -1
2x = 2
x = 1 

Uji :
g(1) = (1)²  - 2(1)
g(1) = -1

h(-1) = 1 + 4
h(-1) = 5 

Memenuhi karena keduanya ganjil

f(x)= 0
2x - 3 = 0
2x = 3
x = 3/2

Uji : 
g(3/2) = (3/2)² - 2(3/2)
g(3/2) = (9/4) -  (6/2)
g(3/2) = -3/4

Tidak memenuhi karena < 0

Jadi, HP {-1, 1, 2, 4}

7. Himpunan penyelesaian dari (2x - 3)^x + 1 = 1 adalah {x1,x2,x3}. nilai dari x1 + x2 + x3 adalah

f(x) = 1
2x - 3 = 1 
2x = 4 
x = 2

f(x) = -1 
2x - 3 = -1
2x = 2
x = 1

g(x) = 0
x + 1 = 0
x = -1 

x1 + x2 + x3 = ?
2 + 1 + (-1) = 2

8. Bila x1 dan x2 penyelesaian dari persamaan 2²x - 6 . 2^x+1 + 32 = 0 dan x1 > x2, maka nilai 2x1 + x2 = ...

(2^x)² - 6 . 2^x . 2 + 32 = 0
misal m = 2^x 
m² - 6 . m . 2 + 32 = 0
m² - 12m + 32 = 0
(m - 8) (m - 4) = 0

m = 8
2^x = 8
2^x = 2³
x = 3 

m = 4
2^x = 4
2^x = 2²
x = 2 

x1 > x2
2x1 + x2 
2(3) + 2 = 8 

(3^x)² . 3 - 28 . 3^x + 9 = 0
Misalnya m = 3^x
3m² - 28m + 9 = 0
(m - 9) (3m - 1) =

m = 9 
3^x = 9
3^x = 3²
x = 2 

m = 1/3
3^x = 3^ -1
x = -1 

x1 > x2,
3x1 - x2
3(2) - (-1) = 7 

10. Jumlah akar akar persamaan  

(5^x)² . 5 - 26 . 5^x + 5 = 0 
Misalnya m = 5^x
5m² - 26m + 5 = 0
(m - 5) (5m - 1) = 0 

m = 5 
5^x = 5¹
x = 1

m = 1/5
5^x = 5^ -1
x = -1

1 + (-1) = 0

x² - 2x - 4 > 3x + 2
x² -5x - 6 > 0 
(x - 6) (x +1) > 0
x = 6, x = -1
x < -1 atau x > 6

12. Tentukan himpunan penyelesaian dari  
(2^ -1)^2x - 5 < (2^ -2)^1/2x + 1
2^ -2x +5 < 2^ -x - 2
-2x + 5 < -x - 2
-x < -7
x > 7
HP { x > 7}

13. Penduduk kota A berjumlah 1 juta jiwa pada awal tahun 2000. tingkat pertumbuhan penduduk pertahun adalah 4% . Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada awal tahun 2003! 
Tahun (t) : 2003 - 2000 = 3 tahun
p0 = 1 juta jiwa
r = 4% per tahun
pt = p0 (1 + r)^t
p3 = 1 (1 + 0,04)^3
p3 = 1,124864   =>  
1.124.864 juta jiwa pada awal tahun 2004 

14. Pada pukul 08.00 massa suatu zat radioaktif adalah 0,5 kg. Apabila laju peluruhan zat radioaktif tersebut 2% setiap jam, hitunglah massa radioaktif pada pukul 10.00! 
Jam (t) : 10.00 - 08.00 = 2 jam
p0 = 0,5 kg
r = 2% per jam 
pt = p0 (1 + r)^t
p2 = 0,5 (1 + 0,02)^2
p2 = 0,9604 kg

(x+2) . log5 < x . log4 
(x+2)/x < log4/log5 
1 +2/x < 5log4 
2/x < 5log4 - 5log5 
2/x < 5log4/5 
2 < x*5log4/5 
x > 2/5log4/5 
x>(4/5)^-1 log(25)^-1 
x > 5/4log1/25 

HP {x > 5/4log1/25}  

Jika 0 < x - 4 < 1   =>  4 < x < 5 
4x > 1 + 3x
x  > 1 

HP {4 < x < 5} 

2^x3 - x < 20
x3 - x < 0
x (x² - 1) < 0 
x = 0, x = 1
HP { 0 < x < 1} 

(5^x)² . 5 > 5^x + 4
(5^x)² . 5 - 5^x - 4 > 0
Misalnya m = 5^x
5m² - m - 4 > 0
(m - 1) (5m + 4)

m = 1
5^x = 50
x = 0 

m = -4/5
5^x = -4/5 (salah) 

HP {x > 0} 

Misalnya a = 2^x
a - 2/a - 1 / 1 - a ≤ 0
a² - 2 - a / a (1 - a)  ≤ 0
(a - 2) (a + 1) / a (1 - a) ≤ 0

a ≤ -1 
2^x ≤ -1 (salah)

a ≥ 2
2^x ≥ 2 
x ≥ 1

0 < a < 1
0 < 2^x < 1 

2^x < 1 
2^x < 20
x < 0
HP {x < 0} 

(4^x)² . 4 - 4^x - 3 > 0  
Misalnya m = 4^x
4m² - m - 3 > 0
(m - 1) (4m + 3) > 0

m = 1
4^x = 4
x = 1

m = -3/4
4^x = -3/4 (salah)

HP { x > 1}

3x-2y = 3-4
x- 2y = -4

2x-y = 16 
2x-y = 24
x - y = 4

x - y = 4
x- 2y = -4 
Dikurang (-)
y = 8

x - y = 4
x - 8 = 4
x = 12 

x + y = ? 
12 + 8 = 20  

32a9 b-2 / 2a5 b-5
16a4 b4
2^4 a^4 b^4
= (2ab)^4

23. Tentukan himpunan penyelesaian dari 

(3²)^3x-4 = (3⁴)^ -2x+5 
3^6x-8 = 3^ -8x+20
6x - 8 = -8x + 20
14x = 28
x = 2
HP { x = 2} 

4^1+2x . 3^4x+1 < 432
4^1+2x . 3^4x+1 < 16 . 27
4^1+2x . 3^4x+1 < 4² . 3³

1 + 2x = 2 
2x = 1
x = 1/2 

25. Tentukan himpunan penyelesaian dari 

x + 2 > x
2 > x - x
2 > 0
HP {x∈R}

26. Diketahui grafik fungsi f(x) = 3 . ²log(3x) maka nilai x yang membuat fungsi f bernilai 0 adalah
f(1/3) => ²log(3(1/3))3 
²log(1)3
²log(1)
²log(2)0 = 0 

Jadi, nilai x yang membuat fungsi f bernilai 0 adalah 1/3

27. Manakah dari fungsi logaritma berikut yang tergolong ke dalam fungsi turun? 
a. f(x) = ³logx
b. f(x) = ⁵log(x+5)
c. f(x) = ⁸log(x² + 4x + 4)
d. f(x) = ¹logx
e. f(x) = ½log(x+4)

Suatu fungsi logaritma yang berbentuk $f\left(x\right)={}^a\log x$ akan monoton naik (disebut fungsi naik) saat $a>1$dan monoton turun (disebut fungsi turun) saat $0<a<1$.
Dari kelima fungsi yang diberikan pada opsi, hanya opsi E yang menunjukkan fungsi logaritma dengan $0<a<1$, yaitu $a=0,5$. 

$\mathrm{Jadi,\; f}\left(x\right)={}^{}\mathrm{1/2log}x+4$ termasuk fungsi turun

28. Nilai minimum dari f(x) = ²log(x² - 2x + 9) adalah
Nilai absis fungsi logaritma tersebut ($a=2$) lebih besar dari $1$, sehingga $f\left(x\right)$ minimum tercapai ketika nilai numerus $g\left(x\right)=x^2-2x+9$juga minimum. 

Karena $g\left(x\right)$ adalah fungsi kuadrat, maka nilai minimum $g\left(x\right)$ diperoleh ketika $x=-\frac{b}{2a}$ dengan $a,b$masing-masing koefisien $x^2$ dan koefisien $x$. Kita tuliskan
$$\begin{array}{cc}x& =-\frac{b}{2a}\\ & =-\frac{(-2)}{2\left(1\right)}\\ & =1\end{array}$$Ini berarti $x=1$ membuat $g\left(x\right)$ minimum, begitu juga dengan nilai fungsi logaritma $f\left(x\right)$.
Substitusi $x=1$ pada $f\left(x\right)$, kita peroleh
$$\begin{array}{cc}f\left(1\right)& ={}^2\log (x^2-2x+9)\\ & ={}^2\log \left(\right(1{)}^2-2\left(1\right)+9)\\ & ={}^2\log 8\\ & =3\end{array}$$Jadi, nilai minimum $f\left(x\right)={}^2\log (x^2-2x+9)$ adalah $3$

29. Jika x log 2 - y log 3 + z log 5 = 10 maka 2x + 8y - 3z = ...
$\begin{array}{cc}x\log 2-y\log 3+z\log 5& =10\\ \log 2^x-\log 3^y+\log 5^z& =10\\ \log \left(\frac{2^x\cdot 5^z}{3^y}\right)& =\log {10}^{10}\\ \frac{2^x\cdot 5^z}{3^y}& ={10}^{10}\end{array}$
Karena $2,3,5$ merupakan bilangan prima, maka bentuk pecahan $\frac{2^x\cdot 5^z}{3^y}$ sudah dalam bentuk paling sederhana. Ini berarti $3^y$ haruslah bernilai $1$ (jika tidak, hasilnya akan berupa pecahan). 
Jadi, $y$ yang memenuhi adalah $0$.
Untuk itu, $2^x\cdot 5^z={10}^{10}$.
Pilih $x=z=10$, sehingga
$2^{10}\cdot 5^{10}=(2\cdot 5{)}^{10}={10}^{10}$.
Jadi, hasil dari
$\begin{array}{cc}2x+8y-3z& =2\left(10\right)+8\left(0\right)-3\left(10\right)\\ & =-10\end{array}$

$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{r}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;"><br></span>}\end{array}}}$

$\begin{array}{cc}x\log 2-y\log 3+z\log 5& =10\\ \log 2^x-\log 3^y+\log 5^z& =10\\ \log \left(\frac{2^x\cdot 5^z}{3^y}\right)& =\log {10}^{10}\\ \frac{2^x\cdot 5^z}{3^y}& ={10}^{10}\end{array}$

30. Jika x dan y memenuhi ²logx² + ³log1/y² = 4 dan ²logx + 3logy⁴ = 13, nilai dari ⁴logx - ⁹logy =...
Kedua persamaan logaritma di atas membentuk sistem persamaan yang dapat ditulis menjadi berikut.
$$\{\begin{array}{cc}2{\cdot }^2\log x-3^3\log y& =4\\ {}^2\log x+4\cdot {}^3\log y& =13\end{array}$$Misalkan ${}^2\log x=a$ dan ${}^3\log y=b$, sehingga diperoleh SPLDV:
$$\{\begin{array}{cccc}2a-3b& =4& & (\cdots 1)\\ a+4b& =13& & (\cdots 2)\end{array}$$Selesaikan, kita peroleh $a=5$ dan $b=2$. Dengan demikian, substitusi balik menghasilkan
$$\begin{array}{cc}{}^2\log x=5& \Rightarrow x=2^5\\ {}^3\log y=2& \Rightarrow y=3^2\end{array}$$Jadi, kita peroleh
$$\begin{array}{cc}{}^4\log x-{}^9\log y& ={}^4\log 2^5-{}^9\log 3^2\\ & =\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}\end{array}$$

31. Diketahui x1 dan x2 adalah akar akar persamaan ²log(4x + 6) = 3 + x nilai dari x1 + x2 adalah

²log(4x + 6) = ²log23+x
(4x + 6) = 23+x
(2²)x + 6 = 23 . 2x
(2x)² + 6 = 23 . 2x
misal a = 2x
a² + 6 = 8 . a
a²  - 8a + 6 = 0

Hasil kali akar dari persamaan kuadrat terakhir adalah
$$\begin{array}{cc}{a}_1\cdot a_2& =\frac{\text{Konst}\text{anta}}{\text{Koef}\text{isien}{a}^2}\\ 2^{x_1}\cdot 2^{x_2}& =\frac{6}{1}\\ 2^{x_1+x_2}& =6\\ x_1+x_2& ={}^2\log 6\end{array}$$Jadi, nilai dari $x_1+x_2$ adalah ${}^2\log 6$

32. Penyelesain dari persamaan xlog(4x + 12) = 2 adalah
Diketahui ${}^x\log (4x+12)=2$.
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan memperoleh
$$\begin{array}{cc}{x}^2& =4x+12\\ x^2-4x-12& =0\\ (x-6)(x+2)& =0\\ x=6\text{atau}x& =-2\end{array}$$Cek syarat bahwa numerus harus positif dan tidak sama dengan $1$. Perhatikan bahwa substitusi $x=-2$ membuat numerus bertanda negatif, sehingga penyelesaian ini ditolak.
Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $x=6$

33. Nilai x yang memenuhi persamaan log√²log+8 = 1 adalah
${\mathrm{ac=b⟺alogb=cac=b⟺alogb=c.Untuk\; itu,\; diperolehlog\surd 2logx+8=1log\surd 2logx+8=log10\surd 2logx+8=102logx+8=100(Kuadratkan\; kedua\; ruas)2logx=92x=292log2logx+8=1log2logx+8=log102logx+8=102logx+8=100(Kuadratkan\; kedua\; ruas)2logx=92x=292Jadi,\; nilai xx yang\; memenuhi\; persamaan\; tersebut\; adalah x=292x=292}}^{}$

34. Nilai dari ²log48 - ²log3 + ⁵log50 - ⁵log2 = ...
²log48/3 + ⁵log50/2
²log16 + ⁵log25
²log2 + ⁵log5²
4 . ²log2 + 2 . ⁵log5
4 + 2 = 6 

35. Diketahui ²log3 = 1,6 dan ²log5 = 2,5 nilai dari ²log(125/9) ...

²log (125/9)
= ²log 53 - ²log 3²
= 3.(²log 5) - 2.(²log 3)
= 3.(2,3) - 2.(1,6)
= 6,9 - 3,2
= 3,7

36. Nilai x yang memenuhi persamaan adalah
(Tidak terdapat lanjutan soalnya di PAS schoology, hanya sampai disitu) 

37. Himpunan penyelesaian dari (²log2x)² - 3 (²log2x) + 2 = 0
(²log2x)² - 3 (²log2x) + 2 = 0
Misal a = ²log2x
a² - 3a + 2 = 0
(a-2) (a-1) = 0

a = 2

²log2x = 2 

²log2x = ²log4

2x = 4 

x = 2

a = 1 

²log2x = 1

²log2x = ²log2

2x = 2

x = 1

Syarat f(x) > 0
x = 2   =>  2(2) = 4 (4 > 0 jadi benar)
           =>  2(2)3 = 16 ( 16 > 0 jadi benar)

x = 1   =>  2(1) = 2 (2 > 0 jadi benar)
           =>  2(1)3 = 2 ( 2 > 0 jadi benar)

HP {1,2}

38. Himpunan penyelesain dari alog²x + 4alogx + 3 = 0 adalah
alog²x + 4 alogx + 3 = 0
Misal m = alogx
m² + 4m + 3 = 0
(m + 3) (m + 1) = 0

m = -3
alogx = -3
x = a-3

m = -1
alogx = -1
x = a-1

HP { a-3, a-1}

39. Himpunan penyelesain dari ⁵log(3x + 5) > ⁵log35
3x + 5 > 35
3x > 30
x > 10

3x + 5 > 0
3x > -5
x > -5/3

HP { x > 10 } 

40. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ²log(5x-16) < 6 adalah
²log(5x-16) < 6
²log(5x-16) < ²log26
5x-16 < 26
5x-16 < 64
5x < 80
x < 16

5x-16 < 0
5x < 16
x < 16/5 (3 1/5)

HP { 16/5 < x < 16 }

41. Himpunan penyelesain dari ⁴log(2x² + 24) > ⁴log(x² + 10x) adalah
⁴log(2x² + 24) > ⁴log(x² + 10x)
2x² + 24 > x² + 10x
x² - 10x + 24 > 0
(x - 6) (x - 4) > 0
x = 6. x = 4 (buat garis bilangan)
x > 6, x < 4

2x² + 24 > 0
2x² > -24   =>  x∈R

x² + 10x > 0
x (x + 10) > 0
x = 0, x = -10 (buat garis bilangan)
x > 0, x < -10

HP {x|x < -10 atau 0 < x < 4 atau x < 6}

42. Nilai x dari pertidaksamaan ½logx² - ½log(x + 3) > -4 adalah
½logx²/(x + 3) > ½log½-4
x²/(x + 3) > ½-4 
x²/(x + 3) > 1/(½)4
x²/(x + 3) > 1/(1/16) 
x²/(x + 3) > 16 
x² > 16x + 48
x² - 16x + 48 > 0

-16 ± 16² - 4(1)(48) / 2(1)
-16 ± 256 - 192 / 2
-16 ± 64 / 2
-16 ± 8 / 2

-16 + 8 / 2 = -4
-16 - 8 / 2 = -12  (buat garis bilangan)
-12 < x  < -4

f(x) : x + 3 > 0
x > -3

HP { x > - 3}

43. Himpunan penyelesain dari ½log(x + 3) > ½log(2x +1) adalah
x + 3 < 2x + 1
2 < x 

x + 3 > 0
x > -3

2x + 1 > 0
x > -1/3

HP {x > 2 }

44. Himpunan penyelesain dari ⁷log(x + 6) > ⁵log(x + 6) adalah
1/(x+6)log7 > 1/(x+6)log5
1/(x+6)log7 - 1/(x+6)log5 > 0
(x+6)log5 - (x+6)log7  > 0
(x+6)log(5/7) > (x+6)log(x+6)0
5/7 > (x+6)0
5/7 > 1

x + 6 > 0
x > - 6

HP {x > - 6} 

45. Himpunan penyelesain dari 2x-5log(x² + 5x) > 2x-5log(4x + 12) adalah

Syarat nilai pada bilangan 2x - 5 > 0  
Batas ini dibagi menjadi 2, yaitu 0 < 2x - 5 < 1 dan 2x - 5 > 1, sehingga diperoleh batas - batas berikut.
Untuk  0< 2x - 5 < 1 atau 5/2 < x < 3. . . (1) 

Syarat nilai pada logaritma.
x2 + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0 . . . (2)
4x + 12 > 0, maka x > -3  . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma
(x² + 5x) < (4x + 12)
x² + 5x - 4x - 12 < 0
        x² + x - 12 < 0
    (x + 4)(x - 3) < 0 
       -4 < x < 3   . . . . . (4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2 < x < 3.
Untuk  2x - 5 > 1 atau  x > 3       . . . (1) 

Syarat nilai pada logaritma.
x² + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0       . . . (2)
4x - 12 > 0, maka x > 3            . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma
(x² + 5x) > (4x + 12)
x² + 5x - 4x - 12 > 0
         x² + x - 12 > 0
(x + 4)(x - 3) > 0 
x < -4 atau  x > 3        . . . . . (4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu x > 3.
Jika, kedua penyelesaian digabungkan maka diperoleh penyelesaian x > 5/2 dan x < 3.

HP { 5/2 < x < 3}  

Naila Zia Khalishah  

X MIPA 2 // 27