Soal Pertidaksamaan Eksponen dan Sifat-Sifatnya

Soal - Soal Pertidaksamaan Eksponen dan Sifat-Sifatnya 

Soal 1 

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen

$\begin{array}{c}{9}^{2x-4}\ge {\left(\frac{1}{27}\right)}^{x^2-4}\end{array}$ adalah ...
A.   {x / -2 ≤ x ≤ 10/3}
B.   {x / -10/3 ≤ x ≤ 2}
C.   {x / x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2}
D.   {x / x ≤ -2  atau  x ≥ 10/3}
E.   {x / -10/3 ≤ x ≤ -2}

Pembahasan :
$\begin{array}{cc}{9}^{2x-4}& \ge {\left(\frac{1}{27}\right)}^{x^2-4}\\ {\left(3^2\right)}^{2x-4}& \ge {\left(3^{-3}\right)}^{x^2-4}\\ 3^{2(2x-4)}& \ge 3^{-3(x^2-4)}\\ 2(2x-4)& \ge -3(x^2-4)\\ 4x-8& \ge -3x^2+12\\ 3x^2+4x-20& \ge 0\end{array}$

Pembuat nol :
3x² + 4x - 20 = 0
(3x + 10)(x - 2) = 0
x = -10/3  atau  x = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2

Jawaban : C  

 

Soal 2 

Penyelesaian dari 5^-2x+2 + 74 . 5^-x - 3 ≥ 0 adalah ...
A.   x ≤ -3  atau  x ≥ 1/25
B.   -3 ≤ x ≤ 1/25
C.   x ≤ 2
D.   x ≥ 2
E.   x ≥ -2

Pembahasan :
5^-2x+2  +  74 . 5^-x  -  3 ≥ 0
5^-2x . 5²  +  74 . 5^-x  -  3 ≥ 0
25(5^-x)²  +  74(5^-x)  -  3  ≥  0

Misalkan y = 5^-x, pertidaksamaan diatas menjadi
25y² + 74y - 3 ≥ 0

Pembuat nol :
25y² + 74y - 3 = 0
(y + 3)(25y - 1) = 0
y = -3  atau  y = 1/25

Dengan uji garis bilangan diperoleh :
y ≤ -3  atau y ≥ 1/25

Karena y = 5^-x, maka
5^-x ≤ -3  ⟶  tidak mempunyai penyelesaian
5^-x ≥ 1/25  ⇔  5^-x ≥ 5^-2  ⇔  -x  ≥ -2  ⇔  x ≤ 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ 2

Jawaban : C 

 

Soal 3 

 

Himpunan penyelesaian dari 32x - 6.3x < 27 adalah ...

A.   {x / x < -3, x ∈ R}
B.   {x / x < -2, x ∈ R}
C.   {x / x < 2, x ∈ R}
D.   {x / x > 2, x ∈ R}
E.   {x / x > 3, x ∈ R}

Pembahasan : 

32x  -  6.3x  <  27
 

(3x)2  -  6(3x)  -  27  <  0

Misalkan y = 3x, pertidaksamaan diatas menjadi
   

y2 - 6y - 27 < 0

Pembuat nol :
 

y2 - 6y - 27 = 0
(y + 3)(y - 9) = 0
y = -3  atau y = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
-3 < y < 9

atau dapat pula ditulis
y > -3  dan  y < 9

Karena y = 3x, maka
3x > -3  dan  3x < 9
3x > -3  dan  3x < 32
x ∈ R    dan  x < 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x ∈ R  dan  x < 2} = {x < 2}

Jawaban : C 

 

Soal 4 

 

Himpunan penyelesaian  , x ∊ R adalah ...

a.    {x∣-1<x<2}
b.    {x∣-2<x<1}
c.    {x∣x<-1 atau x>2}
d.    {x∣x<-2 atau x>1}
e.    {x∣x<0 atau x>1}
 

Pembahasan :


Misal:  maka:

     (2p – 1) (p – 4) > 0
     p = ½ dan p = 4
untuk p = ½, maka 
untuk p = 4, maka , x = 2

HP = {x∣x<-1 atau x>2}
 

Jawaban : C 

 

Soal 5 

 

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan  adalah ...

a.    {p∣p< -2- √7  atau p> -2+ √7}
b.    {p∣p<1 atau p>3}
c.    {p∣ -2- √7< p< -2+ √7}
d.    {p∣ 1< p< 3}
e.    {p∣-3< p< -1} 

Pembahasan :



      -√7 < p + 2 < √7
     -2 -√7 < p < -2 +  √7

 

Jawaban : C

Soal 6 

 

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan  adalah ...
a.    x ≥ -3/2
b.    x ≥ -1
c.    x ≥ 0
d.    x ≥ 1/2
e.    x ≥ 1
 

Pembahasan : 


     2x + 2 ≥ -2x – 2
     4x ≥ -4
     x ≥ -1
  

Jawaban : B

 

Soal 7 

 

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 52x - 6.5x+1 + 125 > 0, x ∈ R adalah ...
A.   1 < x < 2
B.   5 < x < 25
C.   x < -1  atau  x > 2
D.   x < 1  atau  x > 2
E.   x < 5  atau  x > 25

Pembahasan : 

52x  -  6.5x+1  +  125  >  0
(5x)2  -  6.5x.51  +  125  >  0
(5x)2  -  30(5x)  +  125  >  0

Misalkan y = 5x, pertidaksamaan diatas menjadi
y2 - 30y + 125 > 0

Pembuat nol :
 

y2 - 30y + 125 = 0
(y - 5)(y - 25) = 0
y = 5  atau  y = 25

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 5  atau  y > 25

Karena y = 5x, maka penyelesaiannya menjadi
5x < 5  atau  5x > 25
5x < 51  atau  5x > 52
x < 1  atau  x > 2
 

Jawaban : D

  

Soal 8 

Himpunan penyelesaian dari 22x − 7 ∙ 2x > 8 adalah...

A.   {x│x < −1, x ∈ R}
B.   {x│x < −2, x ∈ R}
C.   {x│x > 3, x ∈ R} 

D.   {x│x > 4, x ∈ R}
E.   {x│x > 8, x ∈ R}

Pembahasan :

Misalkan p = 2x sehingga 22x = p2.

   22x − 7 ∙ 2x > 8
   p2 − 7p − 8 > 0
(p + 1)(p − 8) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −1 atau di sebelah kanan 8.

 p < −1    atau    p > 8
2x < −1    atau   2x > 8

Penyelesaian 2x < −1 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sehingga kita tinggal menyelesaikan 2x > 8.

2x > 8
2x > 23
  x > 3

Jawaban : C 

Soal 9 

 

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x+1 + 9 − 28 ∙ 3x > 0, x ∈ R adalah ….
A.   x > −1 atau x > 2
B.   x < −1 atau x < 2
C.   x < 1 atau x > 2
D.   x < −1 atau x > 2
E.   x > −1 atau x < −2  

 

Pembahasan :

Langkah pertama, kita pecah bilangan berpangkat 32x+1 menjadi 32x ∙ 31.

   32x+1 + 9 − 28 ∙ 3x > 0
32x ∙ 31 + 9 − 28 ∙ 3x > 0

Misalkan p = 3x kemudian kita urutkan sehingga menjadi:

 3p2 − 28p + 9 > 0
(3p − 1)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri 1/3 atau di sebelah kanan 9.

 p < 1/3    atau    p > 9
3x < 3−1   atau   3x > 32
  x < −1    atau     x > 2

Jawaban : D

 

Soal 10 

Himpunan penyelesaian dari 9x − 54 >  

3x+1 adalah ….
A.   {x│x > 9, x ∈ R}
B.   {x│x < −3, x ∈ R} 

C.   {x│x > 4, x ∈ R}  

D.   {x│x < −6, x ∈ R}
E.   {x│x > 2, x ∈ R}

Pembahasan :

Langkah pertama kita pindah ruas sehingga ruas kanan menjadi nol

9x − 3x+1 − 54 > 0

Selanjutnya pangkat dari 3 kita pecah dengan rumus am+n = am ∙ an.

9x − 3x . 31 − 54 > 0

Misalkan p = 3x sehingga 9x = p2.

 p2 − 3p − 54 > 0
(p + 6)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −6 atau di sebelah kanan 9.

 p < −6   atau    p > 9
3x < −6   atau   3x > 9

Penyelesaian 3x < −6 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sekarang kita lanjutkan untuk 3x > 9.

3x > 9
3x > 32
  x > 2

Jawaban : E 

NAILA ZIA KHALISHAH 

X MIPA 2 

NO. ABSEN 27