Sudut Antar Vektor pada Bidang Berdimensi Dua dan Berdimensi Tiga serta Contoh Soalnya

Besarnya Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga bisa kita hitung jika kedua garis sudah berptongan, jika tidak maka harus ada yang kita geser sejajar garis awal sehingga kedua garis berpotongan. Jika kedua garis tersebut sejajar maka besar sudutnya 0° karena jika kita geser maka kedua garis akan berimpit. Namun pada soal-soal biasanya jarang kita temukan dimana kedua garisnya sejajar. Dalam penghitungan Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga melibatkan konsep trigonometri. Ada dua rumus dasar trigonometri yang akan kita gunakan yaitu "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku" dan "penereapan trigonometri pada segitiga yaitu aturan kosinus". Ini artinya, untuk memudahkan mempelajari materi Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga ini, teman-teman harus menguasai kedua materi trigonometri tersebut. Karena berkaitan dengan rumus trigonometri, maka pada soal-soal selain menyakan besar Sudut Antara Dua Garis, juga menanyakan nilai perbandingan trigonometrinya seperti nilai sin, nilai cos, nilai tan, dan lainnya.

Misalkan terdapat garis g dan h . Jika kedua garis belum berpotongan, maka geser salah satu (atau keduanya) sehingga kedua garis berpotongan. Dalam menggeser garis harus tetap sejajar dengan posisi garis awalnya. Sudut yang terbentuk adalah pada perpotongan kedua garis yang dibatasi kedua garis (baik garis awal maupun garis hasil pergeserannya).

Langkah-langkah Menentukan Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga :
1). Jika kedua garis belum berpotongan, maka geser sehingga berpotongan.
2). Hubungakan kedua ujung garis sehingga terbentuk segitiga.
3). Ada dua kemungkinan besar sudutnya, yaitu :
(i). Besar sudut langsung bisa ditebak
a). Segitiga sama sisi, besar sudutnya 60°
b). Sudut siku-siku, besar sudutnya 90°
c). Segitiga siku-siku sama kaki, besar sudutnya 45°
(ii). Sudut tidak bisa langsung ditebak, ada dua cara yaitu :

a). Terbentuk segitiga siku-siku. Perhitungan sudutnya menggunakan "perbandingan trigonometri dasar" yaitu sin = de/mi, cos = sa/mi , dan tan = de/sa.

b). Bukan segitiga siku-siku. Perhitungannya menggunakan "aturan cosinus" yaitu

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A => cos A = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos B => cos B = (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac)

c^2 = b^2 + a^2 - 2ba cos C => os C = (b^2 + a^2 - c^2)/(2ba)

Catatan :
*). Baik diketahui atau tidak panjang rusuk pada kubus, untuk memudahkan sebaiknya kita pilih panjang rusuk yang mudah bagi kita dalam melakukan perhitungan, misalkan kita pilih panjang rusuknya 2, atau 4, atau 6, dan lainnya.
*). Kedua garis boleh diperpanjang atau diperpendek yang bertujuan untuk memudahkan dalam perhitungan karena sudutnya akan tetap besarnya.

2. Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga

Setelah membahas materi "sudut antara dua garis pada dimensi tiga", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga. Langkah-langkah Penghitungan Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga ini sedikit lebih sulit dibandingkan menghitung besarnya sudut antara dua garis karena melibatkan "konsep proyeksi garis pada bidang" agar dijamin sudut yang kita peroleh adalah sudut terkecil. Silahkan teman-teman pelajari terlebih dahulu konsep proyeksi pada artikel "Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang". Setelah mengetahui proyeksi, Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga dapat kita sederhanakan menjadi sudut antara dua garis, sehingga kita harus menguasai juga materi sebelumnya yang berkaitan dengan "sudut antara dua garis pada dimensi tiga". Jika garis dan bidang sejajar, maka besarnya sudut yang terbentuk adalah 0°. Namun pada soal-soal, kita akan jarang menjumpai kasus garis dan bidangnya sejajar.

Perhatikan gambar ilustrasi di atas. Misalkan terdapat garis g dan bidang V. Jika garis dan bidang belum berpotongan (belum bertemu), maka geser salah satu (atau keduanya) sehingga berpotongan dan terbentuk sudutnya.

Langkah-langkah Menentukan Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga :
1). Jika garis g dan bidang V belum berpotongan, maka geser sehingga berpotongan.
2). Lukis garis h yang merupakan hasil proyeksi garis g pada bidang V.
3). Sudutnya : sudut (g, V) = sudut (g, h)

Cara lain untuk menentukan garis h :
a). Buat bidang W melalui garis g dan tegak lurus bidang V.
b). Garis h adalah perpotongan bidang V dan bidang W.

Catatan :
*). Langkah berikutnya adalah mencari sudut antara dua garis yang sudah kita pelajari pada materi sebelumnya yaitu "sudut antara dua garis pada dimensi tiga".

3. Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga

Sudut antara dua bidang penghitungannya lebih kompleks dibandingan dengan "Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga" dan "Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga". Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga tidak bisa langsung kita hitung besar sudutnya melainkan harus kita sederhanakan sedemikian sehingga akan diwakili oleh dua garis, sudut dua garis ini baru bisa kita hitung besarnya. Karena penghitungan Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga pada akhirnya melibatkan sudut antara dua garis, maka sebaiknya teman-teman harus menguasai terlebih dahulu materi sebelumnya yaitu "Sudut Antara Dua garis pada Dimensi Tiga" dengan baik. Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga tentunya juga melibatkan konsep trigonometri seperti "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku" dan "penerapan trigonometri pada segitiga : aturan cosinus".

Misalkan terdapat bidang V dan bidang W seperti pada gambar ilustrasi di atas. Jika kedua bidang belum berpotongan, maka geser salah satu (atau keduanya) sehingga berpotongan dan terbentuk sudut dari kedua bidang tersebut.

Langkah-langkah menentukan Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga :
1). Jika bidang V dan bidang W belum berpotongan, maka geser sehingga berpotongan.
2). Lukis garis l yang merupakan perpotongan antara bidang V dan bidang W.
3). Lukis garis g pada bidang V dan garis h pada bidang W, dimana kedua garis ini tegak lurus dengan garis l
4). Sudutnya : sudut (V, W) = sudut (g,h).

Catatan :
*). Langkah berikutnya adalah mencari sudut antara dua garis yang sudah kita pelajari pada materi sebelumnya yaitu "sudut antara dua garis pada dimensi tiga".
*). garis g dan h harus berpotongan (harus bertemu agar terbentuk sudutnya).

Dimensi Dua:

Vektor di R^2

Panjang segmen garis yang menyatakan vektor $\bar{v}$ atau dinotasikan sebagai $\mid\bar{v}\mid$ Panjang vektor sebagai:

vektor di R2

Panjang vektor tersebut dapat dikaitkan dengan sudut $\theta$ yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x. positif.

panjang dan rumus vektor

Vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis $\bar{l} = \binom{1}{0}$ dan $\bar{J} = \binom{0}{1}$ berikut:

$\bar{v} =\left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\end{array}\right) = v_1\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array}\right) + v_2\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\end{array}\right)$

$\bar{v} =v_1 \bar{i} + v_2\bar{j}$

panjang vektor di r2

Contoh Soal :

Soal No. 1
Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q

a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom
b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
c) Tentukan modulus atau panjang vektor PQ

Pembahasan
Titik P berada pada koordinat (3, 1)
Titik Q berada pada koordinat (7,4)
a) PQ dalam bentuk vektor kolom

b) PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
PQ = 4i + 3j

c) Modulus vektor PQ

Soal No. 2
Perhatikan gambar kubus dengan sisi sepanjang 10 satuan berikut:

Titik S tepat berada pada perpotongan kedua diagonal sisi alas kubus. Tentukan:
a) Koordinat titik S
b) Koordinat titik V
c) Vektor SV dalam bentuk kolom
d) SV dalam bentuk vektor satuan
e) Modulus atau panjang SV

Pembahasan
a) Koordinat titik S
x = 5
y = 0
z = 5
(5, 0, 5)

b) Koordinat titik V
x = 10
y = 10
z = 0
(10, 10, 0)

c) Vektor SV dalam bentuk kolom

d) SV dalam bentuk vektor satuan
SV = 5i + 10j − k

e) Modulus atau panjang SV

Soal No. 3
Diberikan dua buah vektor masing-masing a = 9 dan b = 4. Nilai cosinus sudut antara kedua vektor adalah 1/3 . Tentukan:
a) |a + b|
b) |a – b|

Pembahasan
a) |a + b|
Jumlah dua buah vektor

b) |a – b|
Selisih dua buah vektor

Soal No. 4
Dua buah vektor masing-masing:
p = 3i + 2j + k
q = 2i – 4 j + 5k

Tentukan nilai cosinus sudut antara kedua vektor tersebut!

Pembahasan
Jumlahkan dua buah vektor dalam i, j, k

Dengan rumus penjumlahan

Soal No. 5
Diketahui vektor a = 2i – 6j – 3k dan b = 4i + 2j – 4k . Panjang proyeksi vektor a pada b adalah…..
A. 4/3
B. 8/9
C. ¾
D. 3/8
E. 8/36
(Soal Ebtanas Tahun 2000)

Pembahasan
Panjang masing-masing vektor, jika nanti diperlukan datanya:

Proyeksi vektor a pada vektor b, namakan c:

Soal No. 6
Diketahui vektor a = 4i − 2j + 2k dan vektor b = 2 i − 6 j + 4k. Proyeksi orthogonal vektor a pada vektor b adalah….
A. i − j + k
B. i − 3j + 2k
C. i − 4j + 4k
D. 2i − j + k
E. 6i − 8j + 6k
(Dari Soal UN Matematika Tahun 2011 Paket 12)

Pembahasan
Proyeksi vektor a pada vektor b namakan c, hasil akhirnya dalam bentuk vektor (proyeksi vektor ortogonal).

Soal No. 7
Besar sudut antara vektor a = 2i − j + 3k dan b = i + 3j − 2k adalah….
A. 1/8 π
B. 1/4 π
C. 1/3 π
D. 1/2 π
E. 2/3 π
(Soal Ebtanas 1988)

Pembahasan
Sudut antara dua buah vektor:

Soal No. 8
Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u dan v. Besar sudut antara u dan v adalah….
A. 0
B. 1/4 π
C. 1/2 π
D. 3/4 π
E. π
(Soal Ebtanas 1989 – Vektor)

Pembahasan
Tentukan vektor u dan v terlebih dulu:
u = AB = B − A = (6 , 10 , –6) − (4 , 7 , 0) = (2, 3, −6) → u = 2i + 3j − 6k
v = AC = C − A = (1 , 9 , 0) − (4 , 7 , 0) = (− 3, 2, 0) → v = − 3i + 2j

Sudut dengan nilai cosinus nol adalah 90° atau 1/2 π

Soal No. 9

Diketahui

Proyeksi skalar 2u + 3v pada v adalah….

A. 1/2
B. 1/2 √2
C. 1/14√14
D. 2√14
E. 7/2√14

Pembahasan
2u + 3v misalkan dinamakan r

Proyeksi vektor r pada v misal namanya s adalah

Soal No. 10
Diberikan tiga buah vektor masing-masing:
a = 6p i + 2p j − 8 k
b = −4 i + 8j + 10 k
c = − 2 i + 3 j − 5 k

Jika vektor a tegak lurus b, maka vektor a − c adalah…..
A. − 58 i − 20 j − 3k
B. − 58 i − 23 j − 3k
C. − 62 i − 17 j − 3k
D. − 62 i − 20 j − 3k
E. − 62 i − 23 j − 3k

Pembahasan
Tentukan nilai p terlebih dahulu, dua vektor yang tegak lurus maka perkalian titiknya sama dengan nol. a dan b tegak lurus maka berlaku:

a ⋅ b = 0

(6p i + 2p j − 8 k)⋅ (−4 i + 8j + 10 k) = 0
− 24p + 16p − 80 = 0
− 8p = 80
p = − 10

Dengan demikian vektor a adalah
a = 6p i + 2p j − 8 k
a = 6(− 10) i + 2(− 10) j − 8 k
a = −60 i − 20 j − 8 k

a − c = ( −60 i − 20 j − 8 k) − (− 2 i + 3 j − 5 k)
a − c = − 58 i − 23 j − 3k

Daftar Pustaka :

https://www.konsep-matematika.com/2018/01/sudut-antara-dua-garis-pada-dimensi-tiga.html

https://www.konsep-matematika.com/2018/01/sudut-antara-garis-dan-bidang-pada-dimensi-tiga.html

https://www.konsep-matematika.com/2018/01/sudut-antara-dua-bidang-pada-dimensi-tiga.html

https://www.studiobelajar.com/vektor/

https://contoh123.info/materi-contoh-soal-dan-pembahasan-vektor-sma-kelas-12-tuntas/

Naila Zia Khalishah
X MIPA 2
No. Absen 28