Soal dan Pembahasan PTS Genap Schoology

Nama : Naila Zia Khalishah  

Kelas : X MIPA 2  

No. Absen 28  

Hari/Tanggal : Jum'at, 19 Februari 2021 

 

1).  a + 2b - 3c 

= (1,2,3) + 2(5,4,-1) - 3(4,-1,1) 

= (1,2,3) + (10,8,-2) - (12,-3,3) 

= (1+10-12 , 2+8-(-3) , 3+(-2)-3) 

= (-1,13,-2)

Jadi vektor = (-1,13,-2) (D)  

2).  |a - b|² = a² - 2ab + b²

           1²    = √3² - 2ab + 1² 
           1     = 3 - 2ab + 1
          2ab  = 3 + 1 - 1
          2ab  = 3
           ab   = 3/2

|a + b|² = a² + 2ab + b²
|a + b|² = √3² + 2.(3/2) + 1²
|a + b|² = 3 + 3 + 1
|a + b|² = 7
|a + b| = √7

Jadi, nilai dari |a + b| = √7  (C)  

3). a = 2i - 3j + 4k,

b = 5j + 5k = 0i + 5j + 5k
ab = 2(0) + (-3)(5) + 4(5) = 0 - 15 + 20 = 5  (B)

4). |a|=4 dan |b|=6

    |a-b|=2√19  

√(a-b)²=2√19 

a.a+b.b - 2a.b=76  

|a|²+|b|² - 2(|a|)(|b|)cosx=76 

16+36 - 2(4)(6)cosx=76 

cosx=76-16-36/-48=-24/48=-1/2 

 

|a+b|=√(a+b)²  

        =√a.a+b.b + 2a.b 

        =√|a|²+|b|² + 2(|a|)(|b|)cosx 

        =√16+36 + 2(4)(6)(-1/2)  

        =√28=2√7 (A) 

5).  b tegak lurus c

b.c = 0
(p, 2, -1).(1, -1, 3) = 0
p - 2 - 3 = 0
p - 5 = 0
p = 5
Jadi b = 5i + 2j - k

Vektor a - b - c
=> (2, -3, 1) - (5, 2, -1) - (1, -1, 3)
=> (2-5-1, -3-2-(-1), 1-(-1)-3)
=> (-3-1, -5+1, 2-3)
=> (-4, -4, -1)
=> - 4i - 4j - k (C) 

 

6). 

a . b = |a| |b| Cos 60
p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = √5
P = - √5

D. -√5 atau √5 

7).  A = (3, 2, -1)

B = (1, -2, 1)
C = (7,(p - 1), -5)

Panjang AB = B - A
= (1, -2, 1) - (3, 2, -1)
= (-2, -4, 2)

Panjang BC = C - B
= (7, (p - 1), -5) - (1, -2, 1)
= (6, (p + 1), -6)

Kita cari konstanta yang mengubah (-2, -4, 2) menjadi (6, (p + 1), -6)

Misal kita ambil vektor dari sumbu x
-2 * x = 6
x = 6 / -2
 x = -3

Maka, 

-4 * x = (p + 1)
-4 * -3 = p + 1
12 = p + 1
p = 12 - 1
p = 11 (D) 

8). AP : PB = 3 : 2, maka

p = 

p = 

p = 

p = 

p = (3, –2, 2)

Jadi vektor PC

= c – p

= 

= 

= –4i + 7j + 2k

= (– 4, 7, 2) (E) 

9). 

 

a . b = –2(0) + 8p + 4(4)

a . b = 8p + 16 

Panjang vektor b

|b| = 

|b| =  

Panjang proyeksi vektor a pada b = 8

 = 8

 = 8

 = 8

8(p + 2) = 8√(p² + 16)

(p + 2) = √(p² + 16)

==> kedua ruas dikuadratkan <==

(p + 2)² = (p² + 16)

p² + 4p + 4 = p² + 16

4p = 16 – 4

4p = 12

p = 3 (C) 

10).  a . b = 0

(p, 2, -1) . (4, -3, 6) = 0
p(4) + 2(-3) + (-1)(6) = 0
4p - 6 - 6 = 0
4p = 12
p = 3

a - 2b
= (p, 2, -1) - 2(4, -3, 6)
= (3, 2, -1) - (8, -6, 12)
= (-5, 8, -13)

3c = 3(2, -1, 3) = (6, -3, 9)

(a - 2b) . 3c
= (-5, 8, -13) . (6, -3, 9)
= -5(6) + 8(-3) + (-13)(9)
= -30 - 24 - 117
= -171 (E) 

11).   

AB = b - a
      = (3,3,1) - (1,2,3)
      = (2,1,-2)

BC = c - b
      = (7,5,-3) - (3,3,1)
      = (4,2,-4)

      AB : BC
(2,1,-2) : (4,2,-4)
(2,1,-2) : 2(2,1,-2)
         1  :  2

Jadi, AB : BC = 1 : 2 (A) 

12). |a+b| = √|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x

|a-b| = √|a|² + |b|² - 2 |a| |b| . cos x

√|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x = √|a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

Akarnya hilang jadi

|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cosx = |a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

=> |a| |b| . cos x + 2 |a| |b| . cos x = 0

=> 4 |a| |b| . cos x = 0

=> 0/4 |a|.|b|

=> 0

cos x = 0 = 90°

Jadi, a dan b saling membentuk sudut 90° (A)

13). AB = B - A

AB = (-1 , 1 , -1) - (2 , 7 , 8)
AB = (-3,-6,-9)
AB = u

BC = C - B
BC = (0,3,2) - (-1,1,-1)
BC = (1,2,3)
BC = v

Maka ,
Proyeksi orthogonal u pada v :
→ ( (u . v) / |v|² ) . v
→ ( (-3,-6,-9) . (1,2,3) / √(1² + 2² + 3²)² ) . (1,2,3)
→ (-3 -12-27) / 14) . (1,2,3)
→ (-42/14) . (1,2,3)
→ - 3 . (1,2,3)
→ - 3i - 6j - 9k (A)

14). Saling tegak lurus, maka

a . b = 0
(2,-3,6) . (1,p,-1) = 0
2 + (-3p) + (-6) = 0
-3p - 4 = 0

p = - 4/3 (B)

15). a=5i+j+7k=(5,1,7)

       b=3i-j+2k=(3,-1,2)

Maka, proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah:

(a.b/b.b).b=(15-1+14/9+1+4).3i-j+2k

                =(2).(3i-j+2k)

                =6i-2j+4k (B)

16). (3,-2,1).(2,y,2)/4+4+y²=1/2√4+4+y²

                          (6-2y+2)2=8+y²

                                16-4y=8+y²

                             y²+4y-8=0

         y=4±√16+32 / 2=-2±2√3

Jadi, nilai y yang memenuhi adalah 2√3-2 atau -2-√3 (E)

17).  

Sederhanakan dengan kedua pembilang dibagi 3.

Kita sebut sebagai Persamaan-1.

Vektor proyeksi u pada v adalah vektor p, yakni

Kita misalkan  sebagai k yaitu faktor pembanding (atau pengali).

Dapat disimpulkan bahwa jika vektor proyeksi u pada v adalah p, maka terdapat hubungan 

Diperoleh ka = 4, kb = 2, dan ka = 4.

Dari k = ⁴/ₐ disubsitusikan ke kb = 2 menjadi  (⁴/ₐ)b = 2 lalu menjadi 4b = 2a.

Selanjutnya diperoleh hubungan a = 2b sebagai Persamaan-2.

Substitusikan Persamaan-2 ke Persamaan-1.

Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar kuadrat.

Kalikan silang.

5b² + 81 = 121

5b² - 40 = 0

Sederhanakan kedua ruas dengan dibagi 5.

b² - 8 = 0

Faktorkan.

(b - √8)(b + √8) = 0

Untuk b = √8 diperoleh b = 2√2

Untuk b = -√8 diperoleh b = -2√2    

Jadi, nilainya adalah 2√2 (C)

18).  Panjang proyeksi vektor b  ke a  adalah:

Sementara itu diketahui bahwa:

Sehingga diperoleh:

Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah:

x = −1 dan x = 2

Karena tanda pertidaksamaannya “≤” maka hasil dari pertidaksamaan tersebut berada di antara pembuat nol.

−1 ≤  x ≤ 2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah −1 ≤  x ≤ 2 (C)

19). 
u.v = (2(4) + (1(2) + (2(4)
u.v = 18
Jawaban: A (Pernyataan benar, alasan benar, dan mempunyai hubungan sebab akibat)

20). 

A = (4,7,0)

B = (6,10,-6)

C = (1,9,0)

AB = vektor B - vektor A

AB = (6,10,-6) - (4,7,0)

AB = (2,3,-6) > u

AC = vektor C - vektor A

AC = (1,9,0) - (4,7,0)

AC = (-3,2,0) > v

u • v = |u| × |v| × cosA

(2 × -3) + (3 × 2) + (-6 × 0) = √2^2 + 3^2 + (-6)^2 × √(-3)^2 + (2)^2 × cosA

-6 + 6 = 7 × √13 × cosA

0 = 7√13 × cosA

0/7√13 = cosA

0 = cosA

90° = A