Soal - Soal Persamaan Eksponen

SOAL - SOAL PERSAMAAN EKSPONEN 

Contoh 1 
Tentukan penyelesaian dari 2^2x-7 = 8^1-x   

^{a. 1} 

^{b. 2}  

^{c. - 2} 

^{d. - 1}

Jawab :
Langkah pertama, samakan basis pada kedua ruas.
2^2x-7 = 8^1-x
2^2x-7 = (2³)^1-x
2^2x-7 = 2^3-3x

Karena basisnya sama, berdasarkan sifat A diperoleh
2x - 7 = 3 - 3x
5x = 10
x = 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2 (b)

Contoh 2 
Tentukan penyelesaian dari 3^2x-2 = 5^x-1 

a. - 1 

b. 2  

c. - 2 

d. 1

Jawab :
Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :
3^2x-2 = 5^x-1
3^2(x-1) = 5^x-1
9^x-1 = 5^x-1

Berdasarkan sifat B, maka
x - 1 = 0
x = 1

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1 (d) 

 Contoh 4 
Tentukan HP dari (2x + 3)^x-1 = 1 

a. {-1,1} 

b. {1,-1}  

c. {1,1} 

d. {-1,-1}

Jawab :
Misalkan : f(x) = 2x + 3  dan  g(x) = x - 1

Solusi 1 : f(x) = 1
2x + 3 = 1
2x = -2
x = -1  ✔

Solusi 2 : f(x) = -1, dengan syarat g(x) genap
2x + 3 = -1
2x = -4
x = -2  ✘
Periksa :
Untuk x = -2  →  g(x) = -2 - 1 = -3  (ganjil)
Karena g(x) ganjil, maka x = -2 tidak memenuhi.

Solusi 3 : g(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0
x - 1 = 0
x = 1  ✔
Periksa :
Untuk x = 1  →  f(x) = 2(1) + 3 = 5 ≠ 0.
Karena f(x) ≠ 0, maka x = 1 memenuhi.

HP = {-1, 1} (a)

 Contoh 5 
Tentukan HP dari (2x + 1)^x-6 = (x + 5)^x-6  

a. {2,4,6} 

b. {-2,-4,-6} 

c. {-2,4,6} 

d. {2,-4,-6}

Jawab :
Misalkan : f(x) = 2x + 1,  g(x) = x + 5  dan  h(x) = x - 6

Solusi 1 : f(x) = g(x)
2x + 1 = x + 5
x = 4  ✔

Solusi 2 : f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
2x + 1 = -(x + 5)
2x + 1 = -x - 5
3x = -6
x = -2  ✔
Periksa :
Untuk x = -2  →  h(x) = -2 - 6 = -8 (genap)
Karena h(x) genap, maka x = -2 memenuhi.

Solusi 3 : h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0
x - 6 = 0
x = 6  ✔
Periksa : Untuk x = 6 maka
f(x) = 2(6) + 1 = 13 ≠ 0
g(x) = 6 + 5 = 11 ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = 6 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai nol, maka x = 6 tidak memenuhi.

∴ HP = {-2, 4, 6} (c) 

Contoh 6 
Tentukan HP dari (x - 4)^4x = (x - 4)^1+3x 

a. {1,3,4,5}  

b. {1,2,3,4} 

c. {-1,-2,-3,-4} 

d. {,-1,-3,-4,-5}

Jawab :
Misalkan : f(x) = x - 4,  g(x) = 4x  dan h(x) = 1 + 3x

Solusi 1 : g(x) = h(x)
4x = 1 + 3x
x = 1  ✔

Solusi 2 : f(x) = 1
x - 4 = 1
x = 5  ✔

Solusi 3 : f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil.
x - 4 = -1
x = 3  ✔
Periksa : Untuk x = 3 maka
g(x) = 4(3) = 12  (genap)
h(x) = 1 + 3(3) = 10  (genap)
Karena keduanya genap, maka x = 3 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya keduanya ganjil, maka x = 3 juga memenuhi. Namun, jika salah satu genap dan yang lain ganjil maka x = 3 tidak memenuhi.

Solusi 4 : f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif.
x - 4 = 0
x = 4  ✔
Periksa : Untuk x = 4 maka
g(x) = 4(4) = 16  (positif)
h(x) = 1 + 3(4) = 13  (positif)
Karena keduanya positif, maka x = 4 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai ≤ 0, maka x = 4 tidak memenuhi.

∴ HP = {1, 3, 4, 5} (a) 

 Contoh 7 
Tentukan HP dari 2^2x - 3. 2^x+1 + 8 = 0  

a. {-1,2} 

b. {1,2}  

c. {-2,-1} 

d. {-2,1}

Jawab :
2^2x - 3. 2^x+1 + 8 = 0
(2^x)² - 3. 2^x . 2¹ + 8= 0
(2^x)² - 6(2^x) + 8 = 0

Misalkan 2^x = p, sehingga
p² - 6p + 8 = 0
(p - 2)(p - 4) = 0
p = 2 atau p = 4

Untuk p = 2
2^x = 2
2^x = 2¹
x = 1

Untuk p = 4
2^x = 4
2^x = 2²
x = 2

Jadi, HP = {1, 2} (b)

 Contoh 8 
Jika penyelesaian dari 5^t4-1 = 3^t4-1 adalah t₁ dan t₂ dengan t₁ > t₂, tentukan nilai t₂ - t₁ !
a. - 2 

b. 1 

c. 2   

d. - 1

Jawab :
Berdasarkan sifat B maka
t⁴ - 1 = 0
(t² - 1)(t² + 1) = 0
(t + 1)(t - 1)(t² + 1) = 0
t = -1  atau t = 1
Catatan : t² + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian real, dapat diuji dari nilai diskriminannya yang kurang dari nol.

Karena t₁ > t₂ , maka t₁ = 1 dan t₂ = -1. Akibatnya
t₂ - t₁ = -1 - 1 = -2  (a)

 

 Contoh 9 
Tentukan HP dari (x² - x - 1)^3x-9 = 1 

a. {1,2,3,4} 

b. {1,2,3}  

c. {-1,1,2,3}  

d. {0,1,2,3}

Jawab :
Berdasarkan sifat D, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Basisnya sama dengan 1.
x² - x - 1 = 1
x² - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x = -1 atau x = 2

Solusi 2 : Basisnya sama dengan -1, dengan syarat pangkatnya genap.
x² - x - 1 = -1
x² - x = 0
x(x - 1) = 0
x = 0 atau x = 1
Untuk x = 0  → (3x - 9) bernilai ganjil
Untuk x = 1  → (3x - 9) bernilai genap
Jadi, yang memenuhi adalah x = 1

Solusi 3 : Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat basisnya tidak sama dengan nol.
3x - 9 = 0
3x = 9
x = 3
Periksa : Untuk x = 3  →  (x² - x - 1) ≠ 0
Jadi, x = 3 memenuhi

∴ HP = {-1, 1, 2, 3} (c)

 Contoh 10 
Tentukan HP dari (x² + 3x - 2)^2x+3 = (x² + 2x + 4)^2x+3
a. {3/2,1/2,6} 

b. {-3/2,-1/2,6} 

c. {-3/2,1/2,6} 

d. {2/2,1/2,6}
Jawab :
Berdasarkan sifat E, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Basis kiri sama dengan basis kanan.
x² + 3x - 2 = x² + 2x + 4
3x - 2 = 2x + 4
x = 6

Solusi 2 : Basis berlainan tanda, dengan syarat pangkatnya genap.
x² + 3x - 2 = -(x² + 2x + 4)
x² + 3x - 2 = -x² - 2x - 4
2x² + 5x + 2 = 0
(2x + 1)(x + 2) = 0
x = -1/2 atau x = -2
Periksa :
Untuk x = -1/2  →  (2x + 3) bernilai genap
Untuk x = -2  →  (2x + 3) bernilai ganjil
Jadi, yang memenuhi adalah x = -1/2

Solusi 3 : Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat kedua basisnya tidak sama nol.
2x + 3 = 0
x = -3/2
Periksa : Untuk x = -3/2 maka
(x² + 3x - 2) ≠ 0
(x² + 2x + 4) ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = -3/2 memenuhi.

∴ HP = {-3/2, -1/2, 6} (b) 

Contoh 11
Tentukan HP dari (x² - 1)^x-1 = (x² - 1)^x+1
a. {-2,0,2} 

b. {-2, 0, √2}  

c. {-√1, 0, √2} 

d. {-√2, 0, √2}
Jawab :
Berdasarkan sifat F, persamaan diatas memiliki 4 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Pangkat kiri sama dengan pangkat kanan.
x - 1 = x + 1
Tidak ada nilai x yang memenuhi.

Solusi 2 : Basisnya sama dengan 1.
x² - 1 = 1
x² = 2
x = √ 2  atau x = -√ 2

Solusi 3 : Basisnya sama dengan -1, dengan syarat kedua pangkatnya genap atau keduanya ganjil.
x² - 1 = -1
x² = 0
x = 0
Periksa : Untuk x = 0 maka
(x - 1) bernilai ganjil
(x + 1) bernilai ganjil
Karena keduanya ganjil, maka x = 0 memenuhi.

Solusi 4 : Basisnya = 0, dengan syarat kedua pangkatnya ≠ 0.
x² - 1 = 0
(x + 1)(x - 1) = 0
x = -1 atau x = 1
Periksa :
Untuk x = -1 maka (x - 1) ≠ 0 dan (x + 1) = 0
Jadi, x = -1 tidak memenuhi.

Untuk x = 1 maka (x - 1) = 0 dan (x + 1) ≠ 0
Jadi, x = 1 tidak memenuhi.

∴ HP = {-√2, 0, √2} (d) 

 

NAILA ZIA KHALISHAH 

X MIPA 2 

NO. ABSEN 27