Soal Pertidaksamaan Logaritma dan Sifat - Sifatnya

1.    Himpunan penyelesaian dari: adalah ...

a.    {x∣ -2 < x ≤3}
b.    {x∣ x < 3}
c.    {x∣ -3 < x < 2}
d.    {x∣x ≤ -2 atau x ≥3}
e.    {x∣ -2 ≤ x ≤ 3}
 

Pembahasan :

      (x – 3) (x + 2) ≤ 0
       x = 3 dan x = -2

HP = { -2 < x ≤ 3}

Jawaban : A 

2.    Himpunan penyelesaian pertidaksamaan  adalah ...
     a.    {x∣ 1< x < 3}

 

Pembahasan :

       (p – 3) (p – 1) < 0
       p = 3 atau p = 1
       Untuk p = 3, maka:

      Untuk p = 1, maka:

Daerah hasilnya:

HP = { x < 0 atau x < 2 log √3 }

Jawaban : C 

3.    Semua nilai-nilai x yang memenuhi: adalah ...
     a.    -2 < x < 3
     b.    x < -2 atau x > 3

     e.    Semua bilangan real
 

Pembahasan :

      (-x – 2) (x – 3) = 0
      x = -2 atau x = 3
kita subtitusikan x = -2 dan 3 pada persamaan , sehingga diperoleh daerah hasil:

HP = { -2 < x < 3}

Jawaban : A 

4.    Himpunan penyelesaian dari:  adalah ...
a.    {x ∣ x < ½ atau x > 8}
b.    {x ∣ x > ½ atau x < 8}
c.    {x ∣ 0 < x < ½ atau x > 8}
d.    {x ∣ x < 8}
e.    {x ∣ x > ½ }
 

Pembahasan :

 
         (2p + 1) (2p – 3) > 0
         p < - ½ atau p > 3/2
Untuk p < - ½ maka 4 log x < - ½ = x < ½
Untuk p > 3/2  maka 4 log x > 3/2  = x > 8
Karena syarat logaritma x > 0, maka:
HP = { 0 < x < ½ atau x > 8}

Jawaban : C 

5.  Himpunan penyelesaian dari 5log 3x + 5 < 5log 35 adalah.. 

Pembahasan :
a. -3 < x < 10.
b. -5/3 < x < 10.
c. -5 < x < 9.
d. 4 < x < 10.
e. 9 < x < 4.

Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1)

3x + 5 < 35

      3x < 30

        x < 10  ....(2)

Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.

Jawaban : B 

6.  3log (2x + 3) > 3log 15

a. x > 4.
b. x > 7.
c. x > 8.
d. x > 6.
e. x > 1.

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

2x + 3 > 15

      2x > 12

        x > 6  ....(2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.
Jawaban : D 

7. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan   

${}^{\frac{1}{2}}log(x^2-8)<0$ adalah...
A.  {x/ −2 < x < 2}
B.  {x/ −2√2 < x < 2√2}
C.  {x/ x < −3 atau x > 3}
D.  {x/ x < −2√2 atau x > 2√2}
E.  {x/ −3 < x < 2√2 atau 2√2 < x < 2}

Pembahasan : 

${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < 0

Syarat logaritma :
x² − 8 > 0
(x + √8)(x − √8) = 0
x = −√8 atau x = √8
x = −2√2 atau x = 2√2
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2√2 atau x > 2√2  .................... (1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma : 

${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < 0 

${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < ${}^{\frac{1}{2}}$log 1
x² − 8 > 1
x² − 9 > 0
(x + 3)(x − 3) = 0
x = −3 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −3 atau x > 3  ..............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
x < −3 atau x > 3

Jawaban : C 

8. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $2logx\le log(2x+5)+2log2$ adalah...
A.  $-\frac{5}{2}$ < x ≤ 10
B.  −2 ≤ x ≤ 10
C.  0 < x ≤ 10
D.  −2 < x < 0
E.  $-\frac{5}{2}$ ≤ x < 10

Pembahasan :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2

Syarat logaritma :
* x > 0
* 2x + 5 > 0 → x > $-\frac{5}{2}$
Irisan dari syarat diatas :
x > 0  ..............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2
log x² ≤ log(2x + 5) + log 2²
log x² ≤ log(2x + 5) 4
x² ≤ 8x + 20
x² − 8x − 20 ≤ 0
(x + 2)(x − 10) = 0
x = −2 atau x = 10
Pertidaksamaan bertanda "≤" maka
−2 ≤ x ≤ 10  .....................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x ≤ 10

Jawaban : C 

9. Nilai x yang memenuhi persamaan  

${}^{2}log{}^{2}log\left(2^{x+1}+3\right)=1+{}^{2}logx$ adalah...
A.  ²log 3
B.  ³log 2
C.  log$\frac{2}{3}$
D.  −1 atau 3
E.  8 atau $\frac{1}{2}$

Pembahasan :
²log ²log(2^x+1 + 3) = 1 + ²log x

Syarat logaritma :
* 2^x+1 + 3 > 0 → x ∈ R
* ²log(2^x+1 + 3) > 0  → x ∈ R
* x > 0

Penyelesaian persamaan logaritma :
²log ²log(2^x+1 + 3) = 1 + ²log x
²log ²log(2^x+1 + 3) = ²log 2 + ²log x
²log ²log(2^x+1 + 3) = ²log 2x
²log(2^x+1 + 3) = 2x
2^2x = 2^x+1 + 3
 2^2x − 2^x+1 − 3 = 0
 (2^x)² − 2^x.2¹ − 3 = 0

Misalkan 2^x = y
 y² − 2y − 3 = 0
(y + 1)(y − 3) = 0
y = −1 atau y = 3

2^x = −1 → x ∉ R
2^x = 3 ⇔ x = ²log 3

Jawaban : A 

10. Penyelesaian pertidaksamaan $log(x-4)+log(x+8)<log(2x+16)$ adalah...
A.  x > 6
B.  x > 8
C.  4 < x < 6
D.  −8 < x < 6
E.  6 < x < 8

Pembahasan :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)

Syarat logaritma :
* x − 4 > 0 → x > 4
* x + 8 > 0 → x > −8
* 2x + 16 > 0 → x > −8
Irisan dari syarat diatas :
x > 4  .............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)
log(x − 4)(x + 8) < log(2x + 16)
(x − 4)(x + 8) < 2x + 16
x² + 4x − 32 < 2x + 16
x² + 2x − 48 < 0
(x + 8)(x − 6) = 0
x = −8 atau x = 6
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−8 < x < 6  ......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
4 < x < 6

Jawaban : C 

11. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ${}^{3}log(5-x)+{}^{3}log(1+x)<{}^{3}log(6x-10)$ adalah...
A.  x < −5 atau x > 3
B.  1 < x < 5
C.  $\frac{5}{3}$ < x < 5
D.  3 < x < 5
E.   −5 < x < 3

Pembahasan :
³log(5 − x) + ³log(1 + x) < ³log(6x − 10)

Syarat logaritma :
* 5 − x > 0 → x < 5
* 1 + x > 0 → x > −1
* 6x − 10 > 0  → x > $\frac{5}{3}$
Irisan dari syarat diatas :
$\frac{5}{3}$ < x < 5  ....................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
³log(5 − x) + ³log(1 + x) < ³log(6x − 10)
³log(5 − x)(1 + x) < ³log(6x − 10)
(5 − x)(1 + x) < 6x − 10
5 + 4x − x² < 6x − 10
x² + 2x − 15 > 0
(x + 5)(x − 3) = 0
x = −5 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −5 atau x > 3  ............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
3 < x < 5

Jawaban : D 

 

12. 2log (6x + 2) < 2log (x + 27)

a. 3 < x < 5
b. -1 < x < 3

c. -3 < x < 1
d. 5 < x < 16

e. -1/3 < x < 5

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

6x + 2 > 0, maka x > -1/3 .... (1)

x + 27 > 0, maka x > -27 ..... (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

6x + 2 < x + 27

 6x – x < 27 – 2

      5x < 25

        x < 5   ..... (3)

Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5
Jawaban : E 

13.  2log (5x – 16) < 6
a. 16/5 < x < 16.
b. 16 < x < 5.
c. 15 < x < 7.
d. 5 < x < 16.
e. 6/5 < x < 6.

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

5x – 16 > 0, maka x > 16/5 .... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

2log (5x – 16) < 2log 26

2log (5x – 16) < 2log 64

         5x – 16 <  64

                5x < 80

                  x < 16 . . . . (2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.
Jawaban : A 

14.  4log (2x² + 24) > 4log (x² + 10x)

a. x < -10 atau x > 10.
b. x < -10 atau x > 6.
c. x < 10 atau x > - 6.
d. x < 11 atau x > 6.
e. x < 6 atau x > 10.

Pembahasan :

Syarat nilai pada logaritma.

2x² + 24 > 0 (definit positif). Jadi, berlaku untuk setiap x  . . . (1)

x² + 10x > 0, maka x < -10  atau x > 0 . . . . (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x² + 24) >  (x² + 10x)

2x² - x² - 10x + 24 > 0

        x² - 10x + 24 > 0

        (x – 4)(x – 6) >0

       x < 4 atau x > 6 ....(3)

Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.
Jawaban : B 

 

Naila Zia Khalishah 

X MIPA 2 

No. Absen 27  

Daftar Pustaka :

https://smatika.blogspot.com/2017/02/pembahasan-soal-ujian-nasional-logaritma.html

https://www.ajarhitung.com/2017/01/contoh-soal-dan-pembahasan-tentang_65.html?m=1