Persamaan Logaritma dan Sifat - Sifatnya

-

 Persamaan Logaritma Dan Sifat-sifatnya

persamaan logaritma

Pengertian Logaritma

Logaritma yaitu sebuah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan. Pada rumus ini, a adalah basis atau pokok dari logaritma tersebut.

Pengertian Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma yaitu suatu persamaan yang peubahnya merupakan numerus atau bilangan pokok logaritma.
Logaritma juga bisa diartikan sebagai operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.

Contoh – Contoh Logaritma

Logaritma juga memiliki contoh – contoh bilangan tersendiri, yaitu sebagai berikut :
persamaan logaritma

Sifat – Sifat Persamaan Logaritma

Logaritma juga memiliki sifat – sifat tertentu, yaitu sebagai berikut :
1. Sifat Logaritma Dari Perkalian :
Suatu logaritma yaitu merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dari nilai numerus awal.
alog p. q = alog p + alog q
Dengan syaratnya yaitu = a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.
2. Perkalian Logaritma :
Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkaliannya tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b.
alog b x blog c = alog c
Dengan syaratnya yaitu = a > 0, a \ne 1.
3. Sifat Logaritma Dari Pembagian :
Suatu logaritma yaitu merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya adalah pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal.
alog p/q = alog p – alog q
Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.
4. Sifat Logaritma Berbanding Terbalik :
Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran.
alog b = 1/blog a
Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1.
5. Logaritma Berlawanan Tanda :
Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya yaitu merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal.
alog p/q = – alog p/q
Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.
6. Sifat Logaritma Dari Perpangkatan :
Suatu logaritma yaitu dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dan dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali.
alog bp = p. alog b
Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, b > 0
7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma :
Suatu logaritma yaitu dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) yang dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi.
aplog b = 1/palog b
Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1.
8. Bilangan Pokok Logaritma Sebanding Dengan Perpangkatan Numerus :
Suatu logaritma yaitu dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya yang memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut.
alog ap = p
Dengan syaratnya adalah = a > 0 dan a \ne 1.
9. Perpangkatan Logaritma :
Suatu bilangan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai yang numerusnya dari logaritma tersebut.
a alog m = m
Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, m > 0.
10. Mengubah Basis Logaritma :
Suatu logaritma juga dapat dipecah menjadi perbandingan dua logaritma.
plog q = alog p/a log q
Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0


Contoh Soal Persamaan Logaritma

Diketahui logaritma 3log 5 = x dan 3log 7 = y. maka, nilai dari 3log 245 1/2 adalah….
Penyelesaian :
 

Bentuk dasar persamaan logaritma secara umum dinyatakan melalui persamaan – persamaan logaritma berikut.

    \[^{a}\textrm{log }f(x) = ^{a}\textrm{log }g(x) \leftrightarrow f(x) = g(x)\]

    \[^{f(x)}\textrm{log }g(x)=^{f(x)}\textrm{log }h(x) \leftrightarrow g(x) = h(x)\]

Dengan syarat f(x) > 0, g(x) > 0, dan h(x)>0.

Variasi soal persamaan logaritma terdiri atas beberapa bentuk persamaan logaritma. 

Persamaan Logaritma Bentuk I

Jenis variasi soal persamaan logaritma yang pertama diberikan seperti persamaan di bawah.

Persamaan Logaritma Bentuk Pertama


Contoh soal persamaan logaritma bentuk I dan pembahasan:

    \[^{3}\textrm{log 2x}^{2} - \textrm{x = 1}\]

Pembahasan:

    \[^{3}\textrm{log 2x}^{2} - \textrm{x = }^{3}\textrm{log 3}\]

    \[^{3}\textrm{log 2x}^{2} - \textrm{x = }\textrm{3}\]

    \[\textrm{2x}^{2}-\textrm{ x = }\textrm{3}\]

    \[\textrm{2x}^{2}-\textrm{ x }-\textrm{ 3 = 0}\]

    \[\textrm{2x}^{2}\textrm{( + 2x }-\textrm{ 3x)}-\textrm{ 3 = 0}\]

    \[\textrm{2x(x+1)}-\textrm{3(x + 1) = 0}\]

    \[\textrm{(2x}-\textrm{3)(x + 1) = 0}\]

    \[ 2x - 3 = 0 \rightarrow x = \frac{3}{2}\]

      \[ x + 1= 0 \rightarrow x = -1 \]

Persamaan Logaritma Bentuk II

Untuk variasi persamaan logaritma bentuk II diberikan seperti persamaan di bawah.

Persamaan Logaritma Bentuk 2

Contoh soal persamaan logaritma bentuk II dan pembahasan:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan di bawah!

    \[ ^{2}log \left( 2x^{2} - 6x - 7 \right) = ^{3}log \left( 2x^{2} - 6x -7 \right) \]

Pembahasan:

    \[ 2x^{2} - 6x - 7 = 1 \]

    \[ 2x^{2} - 6x - 8 = 0 \]

    \[ 2x^{2} + 2x - 8x - 8 = 0 \]

    \[ 2x(x + 2) - 4(x + 2) = 0 \]

    \[ (2x - 4)(x + 2) = 0 \]

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan logaritma pada soal adalah

    \[ 2x - 4 = 0 \rightarrow x = 2 \]

    \[ x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 \]

Persamaan Logaritma Bentuk III

Bentuk soal persamaan logaritma yang ke tiga dinyatakan seperti persamaan logaritma di bawah.

Persamaan Logaritma

Contoh soal persamaan logaritma bentuk III dan pembahasan:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan di bawah!

    \[ ^{5}log \left(2x^{2} + 5x - 10 \right) = ^{5}log \left(x^{2} - 2x + 18 \right) \]

Pembahasan:

    \[ 2x^{2} + 5x - 10 = x^{2} + 2x + 18 \]

    \[ 2x^{2} - x^{2} + 5x - 2x - 10 - 18 = 0 \]

    \[ x^{2} + 3x - 28 = 0 \]

    \[ (x - 4)(x + 7) = 0 \]

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi adalah

    \[ x - 4 = 0 \rightarrow x = 4 \]

    \[ x + 7 = 0 \rightarrow x = - 7 \]

Persamaan Logaritma Bentuk VI

Variasi soal dalam persamaan logaritma bentuk ke empat diberikan seperti persamaan di bawah.

Persamaan Logaritma Bentuk 4

Contoh soal dan pembahasan persamaan logaritma bentuk IV:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan di bawah.

    \[ ^{x^{2}- 1} log \left( 2x^{2} - 2x + 20 \right) = ^{x^{2}-1} log \left( x^{2} + 6x + 5 \right) \]

\[ 2x^{2} - x^{2} - 2x - 6x + 20 - 5 = 0 \]

    \[ x^{2} - 8x + 15 = 0 \]

    \[ (x - 3)(x - 5) = 0 \]

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi adalah

    \[ (x - 3) = 0 \rightarrow x = 3 \]

    \[ (x - 5) = 0 \rightarrow x = 5 \]

Persamaan Logaritma Bentuk V

Persamaan logaritma yang dapat diubah kedalam bentuk persamaan kuadrat maka penyelesaiannya dapat dicari dengan mengubah persamaan logaritma ke dalam bentuk persamaan kuadrat kemudian menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut.

Contoh soal persamaan logaritma bentuk V dan pembahasan:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma berikut!

    \[^{3}log^{2} x - 7 \cdot log x + 12 = 0 \]

Pembahasan:

Misalkan: p = 3 log x

Sehingga diperoleh

    \[ p^{2} - 7p + 12 = 0 \]

    \[ \left( p - 4 \right) \left( p - 3 \right) = 0 \]

Sehingga diperoleh nilai p

    \[\textrm{(p}-\textrm{4) = 0}\rightarrow\textrm{p = 4}\]

    \[\textrm{(p}-\textrm{3) = 0}\rightarrow\textrm{p = 3}\]

Substitusi nilai p = 3 log x, sehingga akan diperoleh nilai x.

    \[^{3}\textrm{log x = 4}\rightarrow\textrm{x = 3}^{4}\textrm{= 81}\]

    \[^{3}\textrm{log x = 3}\rightarrow\textrm{x = 3}^{3}\textrm{= 27}\] 

 

Naila Zia Khalishah 

X MIPA 2 

No Absen 27 

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Pembahasan Soal Vektor Matematika Minat X MIPA

-
Gambar
Nama : Naila Zia Khalishah    Kelas : X MIPA 2  No. Absen  : 28   Link soal : https://lizzanovrida-education.blogspot.com/2021/     28. Vektor u=i-2j-5k, v=-4i+mj-4k, dan w=4i-j+2k. Jika u dan v saling tegak lurus maka hasil dari (u-v).(2w) adalah  (40i - 12j - 4k)  Jawab :  Saling tegak lurus maka,  u.v = 0 (i, - 2j, - 5k) . (- 4i, mj, - 4k) = 0 - 4 - 2m + 20 = 0 2m = 4 - 20   2m = - 16 m = - 8   u - v = (i, - 2j, - 5k) - (- 4i, mj, - 4k)  = (1, -2, -5) - (- 4, - 8, - 4) = (5, 6, -1)     2w    = (2) . (4i, - j, 2k)  = (2) . (4, - 1, 2)  = (8, - 2, 4)   (u-v).(2w) = (5, 6, -1) . (8, - 2, 4) = (40, - 12, - 4)  (40i - 12j - 4k)
Baca selengkapnya

Operasi Vektor dan Contoh Soalnya

-
Gambar
Operasi Vektor  Vektor di R2  Panjang dari suatu segmen garis yang menyebutkan vektor dilambangkan dengan memakai  atau dapat juga dinotasikan dengan menggunakan simbol | | Berikut ini panjang dari vektor yaitu seperti berikut ini: Panjang vektor sendiri adalah bentuk yang bisa dihubungkan dengan sudut ∅  yang dapat dengan mudah untuk dibentuk oleh vektor serta juga sumbu positif. Operasi Vektor di  R2  ⇒ Proses penjumlahan dan juga Pengurangan Vektor di R2  Resultan adalah sebutan dari hasil penjumlahan yang dilakukan pada dua vektor atau pun lebih. Penjumlahan pada vektor ini sendiri juga dapat dilakukan secara aljabar serta juga dapat dilakukan dengan memakai cara menjumlahkan komponen yang berada di posisi sama atau seletak. Apabila: maka : Maka penjumlahan secara grafis sendiri dapat kita lihat pada contoh gambar yang ada di bawah ini: Pada pengurangan vektor ini diberlakukan sama dengan yang ada pada penjumlahan, antara lain adalah sebagai beriku...
Baca selengkapnya

Sudut Antar Vektor pada Bidang Berdimensi Dua dan Berdimensi Tiga serta Contoh Soalnya

-
Gambar
Dimensi Tiga:  1. Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga Besarnya  Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga  bisa kita hitung jika kedua garis sudah berptongan, jika tidak maka harus ada yang kita geser sejajar garis awal sehingga kedua garis berpotongan. Jika kedua garis tersebut sejajar maka besar sudutnya 0 °  karena jika kita geser maka kedua garis akan berimpit. Namun pada soal-soal biasanya jarang kita temukan dimana kedua garisnya sejajar. Dalam penghitungan  Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga  melibatkan konsep trigonometri. Ada dua rumus dasar trigonometri yang akan kita gunakan yaitu "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku" dan "penereapan trigonometri pada segitiga yaitu aturan kosinus". Ini artinya, untuk memudahkan mempelajari materi  Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga  ini, teman-teman harus menguasai kedua materi trigonometri tersebut. Karena berkaitan dengan rumus trigonometri, maka pada soal-soal sela...
Baca selengkapnya