Proyeksi Ortogonal dan Panjang Proyeksi beserta Contoh Soalnya

-

Proyeksi Ortogonal Dan Panjang Proyeksi  

Proyeksi merupakan ilmu yang mempelajari tentang cara pandang objek dalam ruang dimensi tiga dalam gambar di ruang dimensi dua. Cara ini mempermudah kita untuk melihat objek yang terletak di ruang dimensi tiga. Pada proyeksi vektor, objek yang diproyeksikan berupa vektor, baik itu panjangnya atau vektor itu sendiri. Proyeksi dibedakan menjadi beberapa jenis, di antaranya adalah proyeksi ortogonal, aksonometri, proyeksi miring (oblique), dan perspektif. Pada pembahasan proyeksi vektor kali ini hanya akan membahas mengenai proyeksi vektor ortogonal. Jadi, untuk jenis proyeksi lainnya tidak akan dibahas pada halaman ini.

Proyeksi ortogonal adalah cara pandang mata pada sebuah objek yang ditarik garis tegak lurus pada sebuah bidang datar. Terdapat dua proyeksi ortogonal yang akan di bahas pada pembahasan kali ini, yaitu proyeksi skalar dan vektor ortogonal. Perhatikan gambar dua proyeksi vektor dengan arah yang berbeda pada gambar di bawah

Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor Ortogonal


Proyeksi Skalar Ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal biasa disebut juga dengan proyeksi panjang vektor ortogonal. Dalam kata lainnya, objek proyeksi adalah panjang vektor. Rumus untuk menghitung panjang proyeksi skalar vektor ortogonal adalah sebagai berikut.

  1. Proyeksi skalar ortogonal \vec{a} pada arah vektor \vec{b}.

      \[ \left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ \left| \vec{b} \right| } \]

  2. Proyeksi skalar ortogonal \vec{b} pada arah vektor \vec{a}.

      \[ \left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ \left| \vec{a} \right| } \]

Proyeksi Vektor Ortogonal

Objek pada proyeksi skalar vektor ortogonal adalah panjang proyeksi vektor. Sedangkan pada proyeksi vektor ortogonal yang menjadi objek utamanya adalah vektornya. Vektor hasil proyeksi dapat ditentukan melalui rumus berikut.
 

  1. Proyeksi vektor ortogonal \vec{a} pada \vec{b}.

      \[ \vec{c} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right| ^{2} } \cdot \vec{b} \]

  2. Proyeksi vektor ortogonal \vec{b} pada \vec{a}.

      \[ \vec{c} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{a} \right| ^{2} } \cdot \vec{a} \]


    3. Panjang Proyeksi Vektor

    Misalkan OA = a,  OB = b, dan OP = p, dengan |a| , |b| dan |p| berturut-turut adalah panjang dari vektor a, b dan p.



    Dengan bantuan trigonometri, panjang proyeksi vektor a pada b, yaitu |p| dapat dinyatakan dalam bentuk :
    |p| = |a| cos θ,     jika θ lancip
    |p| = -|a| cos θ,    jika θ tumpul

    Mengingat  cosθ=a⋅b|a||b|, maka

    |p|=|a|a⋅b|a||b|=a⋅b|b|,θlancip

    |p|=−|a|a⋅b|a||b|=−a⋅b|b|,θtumpul

    Walaupun persamaan terakhir bertanda negatif, namun nilainya tetap positif. Hal ini disebabkan, ketika θ tumpul, maka a ‧ b < 0.


    Secara umum, panjang proyeksi vektor a pada b, yaitu |p| kita rumuskan

    |p|=|a⋅b||b|

    dengan
    |p| = panjang proyeksi vektor a pada b
    |b| = panjang b
    |a ‧ b| = nilai mutlak dari a ‧ b

Proyeksi Skalar

Proyeksi skalar a pada b adalah suatu skalar yang nilainya sama dengan panjang proyeksi vektor a pada b, namun bertanda negatif jika vektor proyeksinya berlawanan arah dengan b.

Apabila proyeksi skalar a pada b kita notasikan dengan s, maka

 
Contoh Soal : 

1.) Panjang proyeksi ortogonal vektor \vec{a} = (p, 2, 4) pada \vec{b} = (2, p, 1) adalah 4. Nilai p adalah ….

     \[ \textrm{A.} \; \; \; -4 \]

     \[ \textrm{B.} \; \; \; -2 \]

     \[ \textrm{C.} \; \; \; - \frac{1}{2} \]

     \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{1}{2} \]

     \[ \textrm{E.} \; \; \; 2 \]

Jawaban : E

Pembahasan : 
Mencari panjang vektor b:

     \[ \left| \vec{b} \right| = \sqrt{2^{2} + p ^{2} + 1^{2}} \]

     \[ \left| \vec{b} \right| = \sqrt{4+ p ^{2} + 1} \]

     \[ \left| \vec{b} \right| = \sqrt{p ^{2} + 5} \]

    Berdasarkan rumus proyeksi skalar (proyeksi panjang) ortogonal vektor dapat diperoleh persamaan berikut.

     \[ \left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|} \]

     \[ 4 = \frac{(p, 2, 4)(2, p, 1)}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

     \[ 4 = \frac{2p + 2p + 4}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

     \[ 4 = \frac{4p + 4}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

    \[ 4 = \frac{4(p + 1)}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

     \[ 1 = \frac{p + 1}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

     \[ \sqrt{p^{2}+5} = p + 1 \]

     \[ p^{2}+5 = (p + 1)^{2} \]

     \[ p^{2}+5 = p^{2} + 2p + 1 \]

     \[ 5 = 2p + 1 \]

     \[ 2p = 5 - 1 \]


    \[ 2p = 4 \rightarrow p=\frac{4}{2} = 2 \]

    2.)  Diketahui a = [8, 4]  dan  b = [4, -3]. Tentukan panjang proyeksi vektor a pada b dan panjang proyeksi vektor b pada a ...

    A. √5

    B. 3√2

    C. √3

    D. 5√3

    E. √2

    Jawaban : A

    Pembahasan :

    Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

    |p|=|a⋅b||b|=|8(4)+4(−3)|42+(−3)2=|20|5=4

    Panjang proyeksi vektor b pada a adalah


3.) Panjang proyeksi vektor a = 3i + 4j - k  pada vektor b = i - 2j + k  adalah ...
A. √11
B. √6
C. √3
D. 6
E. 2√3

Jawaban : B

Pembahasan :
a = [3, 4, -1]
b = [1, -2, 1]

Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

|p|=|3(1)+4(−2)+(−1)1|12+(−2)2+12=|−6|6=6



4.) Diketahui vektor u = i + 2j - 3 k dan v = 2i - 3j - 6 k. Proyeksi skalar dari u pada v adalah...
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Jawaban : B

Pembahasan :
Hitung terlebih dahulu |v|
|v| = √(22 + (- 3)2 + (- 6)2) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7
Menghitung u . v
u . v = 1 . 2 + 2 . - 3 + - 3 . - 6 = 2 - 6 + 18 = 14
Maka proyeksi skalar u pada v = u . v / |v| = 14 / 7 = 2


5.) Diketahui vektor u = i + 2j - 3 k dan v = 2i - 3j - 6 k. Proyeksi vektor u pada v adalah...
A. 4i + 6j - 12k
B. 4i - 6j + 12k
C. 4i - 6j - 12k
D. 4i + 6j + 12k
E. 2i - 3j - 6k

Jawaban : C

Pembahasan :
Hitung terlebih dahulu |v|
|v| = √(22 + (- 3)2 + (- 6)2) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7
Menghitung u . v
u . v = 1 . 2 + 2 . - 3 + - 3 . - 6 = 2 - 6 + 18 = 14
Proyeksi vektor u pada v = (u . v) v / |v|2 = 14 / 7 v = 2 (2i - 3j - 6k) = 4i - 6j - 12k


6.) Diketahui vektor u = i + 2j - 3 k dan v = 2i - mj - 6 k. Jika panjang proyeksi u pada v sama dengan 1/2 panjang v, maka salah satu proyeksi vektor u pada v adalah....
A. 20/49 i - 120/49 k
B. 20/49 i + 120/49 k
C. 20/7 i - 120/49 k
D. 20/49 i - 120/7 k
E. 20/7 i - 120/7 k

Jawaban : A

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu |v|
|v| = √(22 + (- 3)2 + (- 6)2) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7
u . v / |v| = 1/2 |v|
2 . u . v = |v|2
2 (1 . 2 - 2 . m + (- 3 . - 6) = (√22 + (-m)2 + (-6)2)2
2 (2 - 2m + 18) = 4 + m2 + 36
4 - 4m + 36 = 40 + m2
m2 + 4m + 40 - 40 = 0
m2 + 4m = 0
m = 0 atau m = - 4
Jika m = 0 maka v = 2i - 6k
Jika m = - 4 maka v = 2i - 4j - 6k

Untuk v = 2i - 6k, maka proyeksi vektor u pada v 
= (u . v) v / |v|2 
= (1 . 2 + 2 . 0 + (- 3 . - 6)) (2i - 6k) / 49
= 20 (2i - 6k) / 49 
= 20i - 120k / 49 
= 20/49 i - 120/49 k

Untuk v = 2i - 4j - 6k, proyeksi vektor u pada v 
=  (u . v) v / |v|2 
= (1 . 2 + 2 . -4 + (- 3 . - 6)) (2i - 4j - 6k) / 49
= 12 (2i - 4j - 6k) / 49 
= 24i - 48 j - 72k / 49 
= 24/49 i - 48/49 j - 72/49 k


7.) Diketahui vektor-vektor sebagai berikut:
Contoh soal proyeksi skalar berbentuk matriks

Proyeksi skalar a pada (b + c) adalah....
A. 2/5
B. 3/5
C. 4/5
D. 7/5
E. 9/5

Jawaban : A

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu b + c
Menjumlahkan dua vektor dengan matriks
Menghitung |b + c|
|b + c| = √(-4)2 + (3)2 + 02 = √16 + 9 = 5

Menghitung a . (b + c)
a . (b + c) = (1 . -4) + (2 . 3) + 3 . 0 = 2

Maka proyeksi skalar a pada (b + c) 
= a . (b + c) / |b + c| 
= 2/5


8.) Diketahui A(1, 2, 3), B(2, 3, 4) dan C(3, 4, 5). Jika AC mewakili a dan AB mewakili b maka nilai dari |a|, |b| dan a . b berturut-turut adalah...
A. √3, 2√3, 6
B. √3, √3, 6
C. √3. √3, √3
D. √3, √3, √6
E. √6, √6, √6

Jawaban : A

Pembahasan
a = AC = C - A = (3, 4, 5) - (1, 2, 3) = (2, 2, 2)
b = AB = B - A = (2, 3, 4) - (1, 2, 3) = (1, 1, 1)

Sehingga
|a| = √(1)2 + (1)2 + (1)2 = √3
|b| = √(2)2 + (2)2 + (2)2 = √12 = 2√3
a . b = (1, 1, 1) . (2, 2, 2) = 2 + 2 + 2 = 6
 
Daftar Pustaka :
 
Naila Zia Khalishah
X MIPA 2 
No. Absen 28 

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Operasi Vektor dan Contoh Soalnya

-
Gambar
Operasi Vektor  Vektor di R2  Panjang dari suatu segmen garis yang menyebutkan vektor dilambangkan dengan memakai  atau dapat juga dinotasikan dengan menggunakan simbol | | Berikut ini panjang dari vektor yaitu seperti berikut ini: Panjang vektor sendiri adalah bentuk yang bisa dihubungkan dengan sudut ∅  yang dapat dengan mudah untuk dibentuk oleh vektor serta juga sumbu positif. Operasi Vektor di  R2  ⇒ Proses penjumlahan dan juga Pengurangan Vektor di R2  Resultan adalah sebutan dari hasil penjumlahan yang dilakukan pada dua vektor atau pun lebih. Penjumlahan pada vektor ini sendiri juga dapat dilakukan secara aljabar serta juga dapat dilakukan dengan memakai cara menjumlahkan komponen yang berada di posisi sama atau seletak. Apabila: maka : Maka penjumlahan secara grafis sendiri dapat kita lihat pada contoh gambar yang ada di bawah ini: Pada pengurangan vektor ini diberlakukan sama dengan yang ada pada penjumlahan, antara lain adalah sebagai berikut, lihat pada contoh di bawah ini:
Baca selengkapnya

Sudut Antar Vektor pada Bidang Berdimensi Dua dan Berdimensi Tiga serta Contoh Soalnya

-
Gambar
Dimensi Tiga:  1. Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga Besarnya  Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga  bisa kita hitung jika kedua garis sudah berptongan, jika tidak maka harus ada yang kita geser sejajar garis awal sehingga kedua garis berpotongan. Jika kedua garis tersebut sejajar maka besar sudutnya 0 °  karena jika kita geser maka kedua garis akan berimpit. Namun pada soal-soal biasanya jarang kita temukan dimana kedua garisnya sejajar. Dalam penghitungan  Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga  melibatkan konsep trigonometri. Ada dua rumus dasar trigonometri yang akan kita gunakan yaitu "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku" dan "penereapan trigonometri pada segitiga yaitu aturan kosinus". Ini artinya, untuk memudahkan mempelajari materi  Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga  ini, teman-teman harus menguasai kedua materi trigonometri tersebut. Karena berkaitan dengan rumus trigonometri, maka pada soal-soal selain menyakan besar Sudut
Baca selengkapnya

Pembahasan Soal Vektor Matematika Minat X MIPA

-
Gambar
Nama : Naila Zia Khalishah    Kelas : X MIPA 2  No. Absen  : 28   Link soal : https://lizzanovrida-education.blogspot.com/2021/     28. Vektor u=i-2j-5k, v=-4i+mj-4k, dan w=4i-j+2k. Jika u dan v saling tegak lurus maka hasil dari (u-v).(2w) adalah  (40i - 12j - 4k)  Jawab :  Saling tegak lurus maka,  u.v = 0 (i, - 2j, - 5k) . (- 4i, mj, - 4k) = 0 - 4 - 2m + 20 = 0 2m = 4 - 20   2m = - 16 m = - 8   u - v = (i, - 2j, - 5k) - (- 4i, mj, - 4k)  = (1, -2, -5) - (- 4, - 8, - 4) = (5, 6, -1)     2w    = (2) . (4i, - j, 2k)  = (2) . (4, - 1, 2)  = (8, - 2, 4)   (u-v).(2w) = (5, 6, -1) . (8, - 2, 4) = (40, - 12, - 4)  (40i - 12j - 4k)
Baca selengkapnya