Vektor, Jenis Vektor, Operasi Vektor, dan Contoh Soalnya

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar/nilai dan arah. Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor .

Dalam matematika vektor digambarkan dalam bentuk garis lurus yang mempunyai panjang dan arah.

Misalkan vektor $\bar{v}$ merupakan vektor yang berawal dari titik $A(x_1,y_1)$ menuju titik $B(x_2,y_2)$ dapat digambarkan koordinat cartesius dibawah. Panjang garis sejajar sumbu x adalah $v_1 = x_2 - x_1$ dan panjang garis sejajar sumbu y adalah $v_2 = y_2 - y_1$ merupakan komponen-komponen vektor $\bar{v}$ .

pengertian vektor

Komponen vektor $\bar{v}$ dapat ditulis untuk menyatakan vektor secara aljabar yaitu:

$\vec{v} = \left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} x_2-x_1\\ y_2-y_1\end{array}\right)$ atau $\vec{v} = (v_1,v_2)$

Penulisan Nama Vektor :

dengan menggunakan huruf kapital harus menggunakan dua huruf, sebagai contoh vektor $\vec{AB}$
adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang ruas garis AB dan arahnya dari A ke B.
sedangkan dengan huruf kecil hanya satu huruf, sebagai contoh $\overset{̅}{a}$ ̅

Sebagai Contoh

Jenis - Jenis Vektor

Vektor Nol adalah vektor yang besarnya nol satuan dan arahnya tak tertentu.
Vektor Posisi adalah Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi.
Vektor Basis adalah vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah dengan sumbu koordinat.

Vektor satuan Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari

Secara aljabar sebuah vektor dapat dinyatakan dengan salah satu cara, sebagai berikut :

Vektor kolom ( matriks kolom )
Vektor baris ( matriks baris )
Vektor basis

Contoh Soal Vektor Kolom, Baris dan Basis Dan Jawabannya

Modulus Vektor ( Panjang Vektor )

Jika A (x A , y A , z A ) dan B (x B , y B , z B ) maka panjang vektor OA adalah OA atau a , yaitu :

Pembagian Ruas Garis Vektor

Diketahui ruas garis AB. Titik P terletak pada ruas garis tersebut sedemikian hingga AP : PB = m : n . Maka :

Pada perbandingan AP : PB = m : n ,

Jika P terletak di antara A dan B , maka m > 0 dan n > 0 .
Jika P terletak pada perpanjangan AB , maka m < 0 dan n > 0 .
Jika P terletak pada perpanjangan BA , maka m > 0 dan n < 0 .

Operasi Vektor

1. Perkalian Vektor Dengan Bilangan Riil

2. Penjumlahan Vektor

Diketahui vektor a dan b .
Secara geometris vektor a dan b dapat dijumlahkan dengan cara sebagai berikut :

3. Pengurangan Vektor

Diketahui vektor a dan b . Pengurangan vektor a – b dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan vektor a + ( – b ) , dengan vektor – b adalah vektor yang panjangnya sama dengan vektor b dan arahnya berlawanan dengan vektor b .

Contoh Soal

Pilihan Ganda

Nomor 1

Diketahui a = t i - 8 j + h k dan b = (t +2) i + 4 j + 2 k. Jika a = - b maka vektor a dapat dinyatakan ...
A. i + 8j + 2 k
B. i + 8 j - 2k
C. i - 8j + 2k
D. - i - 8j + 2k
E. - i - 8j - 2k

Pembahasan
a = - b maka t i - 8 j + h k = - (t +2) i - 4 j - 2 k
t = - (t +2)
t = - t - 2
2t = -2
t = -1
lalu h = -2
sehingga, a = - i - 8 j - 2 k
Jawaban: E

Nomor 2
Jika vektor a = 10i + 6 j - 3k dan b = 8 i + 3 j + 3k serta c = a - b, maka vektor satuan yang searah denga c adalah...
A. 6/7 i + 2/7 j + 3/7 k
B. 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
C. 2/7 i - 3/7 j + 6/7 k
D. 6/7 i - 3/7 j - 2/j k
E. -2/7 i + 6/7 j - 3/7 k

Pembahasan
c = a - b = (10 i + 6 j - 3k) - (8i + 3 j + 3k) = 2 i + 3j - 6k
Sehingga

Maka vektor yang searah dengan c adalah
c = (2, 3, -6) / 7 atau c = 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
Jawaban: B

Nomor 3
Diketahui titik-titik A (2, 5, 2), B (3, 2, -1), C (2, 2, 2). Jika a = AB dan b = CA dan c = b - a maka vektor c adalah...
A. (1,5,3)
B. (-1,5,3)
C. (-1,0,3)
D. (-1,3,5)
E. (-1,-3,5)

Pembahasan
a = AB = B - A = (3,2,-1) - (2,5,2) = (1,-3,-3)
b = CA = A - C = (2,2,2) - (2,5,2) = (0,-3,0)
c = b - a = (0,-3,0) - (1,-3,-3) = (-1,0,3)
Jawaban:C

Nomor 4
Diketahui U = 3 i + 2 j + k dan v = 2i + j dimana W = 3 U - 4 V maka besar W =...
A. √5
B. √7
C. √11
D. √13
E. √14

Pembahasan
W = 3 (3 i + 2 j + k) - 4 (2i + j) = i + 2j + 3k

Jawaban: E

Nomor 5
Diketahui A (1,2,3), B(3,3,1) dan C(7,5,-3). Jika A, B, dan C segaris, perbandingan AB : BC =...
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 2 : 5
D. 5 : 7
E. 7 : 5

Pembahasan
AB = B - A = (3,3,1) - (1,2,3) = (2,1,-2)
Besar AB = √22 + 12 + (-2)2 = 3
BC = C - B = (7,5,-3) - (3,3,1) = (4,2,-4)
Besar BC = √42 + 22 + (-4)2 = 6
Jadi perbandingan AB : BC = 3 : 6 = 1 : 2
Jawaban: A

Nomor 6
Jika vektor

maka vektor a + 2b - 3c = ...

Pembahasan

Jawaban: D